Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды , и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:

Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям , и некоторым особняком идут Ряды Фурье , которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!

Итак, ориентиры расставлены, поехали:

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Если в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность , то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :

При

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно .

при – сходится.

! Напоминаю , что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.

Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда

Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует) :

Ряд сходится при

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем его на характер сходимости:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится условно .

2) При – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно , а в точке , как выяснилось – условно .

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда:

Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль , поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд :

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Итак, ряд сходится при

Умножаем обе части неравенства на 9:

Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :


Раскрываем модуль:

и прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

Тема 2. Функциональные ряды. Степенные ряды

2.1. Функциональные ряды

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа. Перейдем теперь к изучению рядов, членами которых являются функции.

Функциональным рядом называется ряд

членами которого являются функции одного и того же аргумента, определенные на одном множестве Е.

Например,

1.
;

2.
;

Если придать аргументу х некоторое числовое значение
,
, то получим числовой ряд

который может сходиться (сходиться абсолютно) или расходиться.

Если при
полученный числовой ряд сходится, то точка
называется точкой сходимости функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда. Обозначим область сходимости Х , очевидно,
.

Если для числовых знакоположительных рядов ставится вопрос: «Сходится ряд или расходится?», для знакопеременных – вопрос: «Сходится как – условно или абсолютно,– или расходится?», то для функционального ряда основной вопрос звучит так: «Сходится (сходится абсолютно) при каких х ?».

Функциональный ряд
устанавливает закон, по которому каждому значению аргумента
,
, ставится в соответствие число, равное сумме числового ряда
. Таким образом, на множестве Х задается функция
, которая называется суммой функционального ряда .

Пример 16.

Найти область сходимости функционального ряда

.

Решение.

Пусть х – фиксированное число, тогда данный ряд можно рассматривать как числовой ряд, знакоположительный при
и знакопеременный при
.

Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

т.е для любого значения х этот предел меньше единицы, значит данный ряд сходится, причем абсолютно (так как исследовали ряд из абсолютных величин членов ряда) на всей числовой оси.

Таким образом, областью абсолютной сходимости является множество
.

Пример 17.

Найти область сходимости функционального ряда
.

Решение.

Пусть х – фиксированное число,
, тогда данный ряд можно рассматривать, как числовой ряд, знакоположительный при
и знакопеременный при
.

Рассмотрим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

и применим к нему признак ДАламбера.

По признаку ДАламбера ряд сходится, если величина предела меньше единицы, т.е. данный ряд будет сходиться, если
.

Решив это неравенство, получим:


.

Таким образом, при , ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно, а при
данный ряд расходится.

При
ряд может сходится или расходится, так как при этих значениях х величина предела равна единицы. Поэтому дополнительно исследуем сходимость ряда точках
и
.

Подставляя в данный ряд
, получим числовой ряд
, про который известно, что он является гармоническим расходящимся рядом, значит, точка
– точка расходимости заданного ряда.

При
получается знакочередующийся числовой ряд

про который известно, что он сходится условно (смотри пример 15), значит, точка
– точка условной сходимости ряда.

Таким образом, область сходимости данного ряда , причем ряд сходится абсолютно при .

Функциональный ряд

называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся знакоположительный ряд

,

что для всех х из данной области выполняется условие
при
. Ряд
называется мажорантой.

Иначе говоря, ряд является мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося знакоположительного ряда.

Например, ряд

является мажорируемым для любого х , так как для всех х выполняется соотношение

при
,

а ряд , как известно, является сходящимся.

Теорема Вейерштрасса

Ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится в этой области.

Рассмотрим для примера функциональный ряд
. Этот ряд является мажорируемым при
, так как при
члены ряда не превосходят соответствующих членов знакоположительного ряда . Следовательно, по теореме Вейерштрасса, рассмотренный функциональный ряд абсолютно сходится при
.

2.2. Степенной ряд. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда

Среди всего многообразия функциональных рядов наиболее важными с точки зрения практического применения являются степенные и тригонометрические ряды. Рассмотрим такие ряды подробнее.

Степенным рядом по степеням
называется функциональный ряд вида

где – некоторое фиксированное число,
– числа, называемые коэффициентами ряда.

При
получаем степенной ряд по степеням х , который имеет вид

.

Для простоты будем рассматривать степенные ряды по степеням х , так как из такого ряда легко получить ряд по степеням
, подставив вместо х выражение
.

Простота и важность класса степенных рядов обусловлены в первую очередь тем, что частичная сумма степенного ряда

является многочленом – функцией, свойства которой хорошо изучены и значения которой легко вычисляются с помощью только арифметический операций.

Поскольку степенные ряды являются частным случаем функционального ряда, то для них так же необходимо находить область сходимости. В отличие от области сходимости произвольного функционального ряда, которая может быть множеством произвольного вида, область сходимости степенного ряда имеет вполне определенный вид. Об этом говорит следующая теорема.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд
сходится при некотором значении
, то он сходится, причем абсолютно, при всех значениях х, удовлетворяющих условию
. Если степенной ряд расходится при некотором значении
, то он расходится и при значения, удовлетворяющих условию
.

Из теоремы Абеля следует, что все точки сходимости степенного ряда по степеням х расположены от начала координат не далее, чем любая из точек расходимости. Очевидно, что точки сходимости заполняют некоторый промежуток с центром в начале координат. справедлива теорема об области сходимости степенного ряда.

Теорема.

Для всякого степенного ряда
существует число R (R >0) такое, что при всех х, лежащих внутри интервала
, ряд сходится абсолютно и при всех х, лежащих вне интервала
, ряд расходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал
– интервалом сходимости степенного ряда по степеням х.

Заметим, что в теореме ничего не говорится о сходимости ряда на концах интервала сходимости, т.е. в точках
. В этих точках различные степенные ряды ведут себя по-разному: ряд может сходиться (абсолютно или условно), а может расходиться. Поэтому сходимость ряда в этих точках следует проверять непосредственно по определению.

В частных случаях радиус сходимости ряда может быть равен нулю или бесконечности. Если
, то степенной ряд по степеням х сходится лишь в одной точке
; если же
, то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Еще раз обратим внимание на то, что степенной ряд
по степеням
может быть сведен к степенному ряду
с помощью замены
. Если ряд
сходится при
, т.е. для
, то после обратной замены получим

 или
.

Таким образом, интервал сходимости степенного ряда
имеет вид
. Точку называют центром сходимости . Для наглядности принято интервал сходимости изображать на числовой оси (рисунок 1)

Таким образом, область сходимости состоит из интервала сходимости, к которому могут быть добавлены точки
, если в этих точках ряд сходится. Интервал сходимости можно находить, применяя непосредственно признак ДАламбера или радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов данного ряда.

Пример 18.

Найти область сходимости ряда
.

Решение.

Данный ряд является степенным рядом по степеням х , т.е.
. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, и воспользуемся признаком ДАламбера.

Ряд будет сходиться, если величина предела меньше 1, т.е.

, откуда
.

Таким образом, интервал сходимости данного ряда
, радиус сходимости
.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала, в точках
. Подставляя в данный ряд значение
, получим ряд

.

Полученный ряд является гармоническим расходящимся рядом, следовательно, в точке
ряд расходится, значит, точка
не входит в область сходимости.

При
получим знакочередующийся ряд

,

который является условно сходящимся (пример 15), следовательно, точка
– точка сходимости (условной).

Таким образом, область сходимости ряда
, причем в точке
ряд сходится условно, а в остальных точках - абсолютно.

Рассуждениям, использованным при решении примера, можно придать общий характер.

Рассмотрим степенной ряд

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда и применим к нему признак Д"Аламбера.

Если существует (конечный или бесконечный) предел, то по условию сходимости признака Д"Аламбера ряд будет сходиться, если

,

,

.

Отсюда из определения интервала и радиуса сходимости имеем

Применяя радикальный признак Коши и рассуждая аналогично, можно получить еще одну формулу для нахождения радиуса сходимости

Пример 19

Решение.

Ряд является степенным по степеням х. Для нахождения интервала сходимости вычислим радиус сходимости по приведенной выше формуле. Для данного ряда формула числового коэффициента имеет вид

, тогда

Следовательно,

Так как R = , то ряд сходится (причем абсолютно) при всех значения х, т.е. область сходимости х  (–; +).

Заметим, что можно было бы найти область сходимости без использования формул, а применяя непосредственно признак Д" Аламбера:

Так как величина предела не зависит от х и меньше 1, то, значит, ряд сходится при всех значениях х, т.е. при х (-;+).

Пример 20

Найти область сходимости ряда

1!(х +5)+2!(х + 5) 2 +3!(х + 5) 3 +... + п !(х + 5) п +...

Решение .

х + 5), т.е. центр сходимости х 0 = - 5. Числовой коэффициент ряда а п = п !.

Найдем радиус сходимости ряда

.

Таким образом, интервал сходимости состоит из одной точки – центра интервала сходимости х = - 5.

Пример 21

Найти область сходимости ряда
.

Решение.

Данный ряд является степенным рядом по степеням (х –2), т.е.

центр сходимости х 0 = 2. Заметим, что ряд является знакоположительным при любом фиксированном х, так как выражение (х- 2) возводится в степень 2п. Применим к ряду радикальный признак Коши.

Ряд будет сходиться, если величина предела меньше 1, т.е.

,
,
,

значит, радиус сходимости
, тогда интеграл сходимости

,
.

Таким образом, ряд сходится абсолютно при х 
. Обратим внимание, что интеграл сходимости симметричен относительно центра сходимости х о = 2.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

Полагая
, получим числовой знакоположительный ряд

Воспользуемся необходимым признаком сходимости:

следовательно, числовой ряд расходится, и точка
является точкой расходимости. Заметим, что при вычислении предела использовали второй замечательный предел.

Полагая
, получим тот же числовой ряд (проверить самостоятельно!), значит, точка
также не входит в интервал сходимости.

Итак, область абсолютной сходимости данного ряда х 
.

2.3. Свойства сходящихся степенных рядов

Мы знаем, что конечная сумма непрерывных функций непрерывна; сумма дифференцируемых функций дифференцируема, причем производная суммы равна сумме производных; конечную сумму можно интегрировать почленно.

Оказывается, для «бесконечных сумм» функций – функциональных рядов в общем случае свойства не имеют места.

Например, рассмотрим функциональный ряд

Очевидно, что все члены ряда – непрерывные функции. Найдем область сходимости этого ряда и его сумму. Для этого найдем частичные суммы ряда

тогда сумма ряда

Таким образом, сумма S (х ) данного ряда, как предел последовательности частичных сумм, существует и конечна при х  (-1;1), значит, этот промежуток является областью сходимости ряда. При этом его сумма является разрывной функцией, так как

Итак, этот пример показывает, что в общем случае свойства конечных сумм не имеют аналога для бесконечных сумм – рядов. Однако для частного случая функциональных рядов – степенных рядов – свойства суммы аналогичны свойствам конечных сумм.

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. Лекция № 42 5

Лекция 42

ТЕМА: Функциональные ряды

План.

1. Функциональные ряды. Область сходимости.
2. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
3. Свойства равномерно сходящихся рядов: непрерывность суммы ряда, почленное интегрирование и дифференцирование.
4. Степенные ряды. Теорема Абеля. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.
5. Основные свойства степенных рядов: равномерная сходимость, непрерывность и бесконечная дифференцируемость суммы. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

Функциональные ряды. Область сходимости

Определение 40.1 . Бесконечная сумма функций

u 1 (x ) + u 2 (x ) +…+ u n (x ) +… , (40.1)

где u n (x ) = f (x , n ), называется функциональным рядом .

Если задать конкретное числовое значение х , ряд (40.1) превратится в числовой ряд, причем в зависимости от выбора значения х такой ряд может сходиться или расходиться. Практическую ценность представляют только сходящиеся ряды, поэтому важно определить те значения х , при которых функциональный ряд становится сходящимся числовым рядом.

Определение 40.2 . Множество значений х , при подстановке которых в функциональный ряд (40.1) получается сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

Определение 40.3. Функция s (x ), определенная в области сходимости ряда, которая для каждого значения х из области сходимости равна сумме соответствующего числового ряда, полученного из (40.1) при данном значении х , называется суммой функционального ряда .

Пример. Найдем область сходимости и сумму функционального ряда

1 + х + х ² +…+ x n +…

При | x | ≥ 1 поэтому соответствующие числовые ряды расходятся. Если же

| x | < 1, рассматриваемый ряд представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, вычисляемую по формуле:

Следовательно, областью сходимости ряда является интервал (-1, 1), а его сумма имеет указанный вид.

Замечание . Так же, как для числовых рядов, можно ввести понятия частичной суммы функционального ряда:

s n = 1 + х + х ² +…+ x n

и остатка ряда: r n = s – s n .

Равномерная сходимость функционального ряда

Определим вначале понятие равномерной сходимости числовой последовательности.

Определение 40.4. Функциональная последовательность f n (x ) называется равномерно сходящейся к функции f на множестве Х , если и

Замечание 1. Будем обозначать обычную сходимость функциональной последователь-ности а равномерную сходимость - .

Замечание 2 . Отметим еще раз принципиальное отличие равномерной сходимости от обычной: в случае обычной сходимости при выбранном значении ε для каждого существует свой номер N , для которого при n > N выполняется неравенство:

При этом может оказаться, что подобрать для данного ε общий номер N , обеспечивающий выполнение этого неравенства для любого х , невозможно. В случае же равномерной сходимости такой номер N , общий для всех х , существует.

Определим теперь понятие равномерной сходимости функционального ряда. Поскольку каждому ряду соответствует последовательность его частичных сумм, равномерная сходимость ряда определяется через равномерную сходимость этой последовательности:

Определение 40.5. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Х , если на Х равномерно сходится последовательность его частичных сумм.

Признак Вейерштрасса

Теорема 40.1. Если числовой ряд сходится и для всех и для всех п = 1, 2,… выполняется неравенство то ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве Х.

Доказательство.

Для любого ε > 0 c уществует такой номер N , что поэтому и

Для остатков r n ряда справедлива оценка

Следовательно, поэтому ряд равномерно сходится.

Замечание. Процедура подбора числового ряда, отвечающего условиям теоремы 40.1, обычно называется мажорированием , а сам этот ряд – мажорантой для данного функционального ряда.

Пример. Для функционального ряда мажорантой при любом значении х является сходящийся знакоположительный ряд. Поэтому исходный ряд равно-мерно сходится на (-∞, +∞).

Свойства равномерно сходящихся рядов

Теорема 40.2. Если функции u n (x ) непрерывны при и ряд равномерно сходится на Х , то его сумма s (x ) тоже непрерывна в точке х 0 .

Доказательство.

Выберем ε > 0. Тогда, поэтому существует такой номер п 0 , что

- сумма конечного числа непрерывных функций, поэтому непрерывна в точке х 0 . Поэтому существует такое δ > 0, что Тогда получаем:

То есть функция s (x ) непрерывна при х = х 0 .

Теорема 40.3. Пусть функции u n (x ) непрерывны на отрезке [ a , b ] и ряд равно-мерно сходится на этом отрезке. Тогда ряд тоже равномерно сходится на [ a , b ] и (40.2)

(то есть в условиях теоремы ряд можно почленно интегрировать).

Доказательство.

По теореме 40.2 функция s (x ) = непрерывна на [ a , b ] и, следовательно, интегрируема на нем, то есть интеграл, стоящий в левой части равенства (40.2), существует. Покажем, что ряд равномерно сходится к функции

Обозначим

Тогда для любого ε найдется такой номер N , что при n > N

Значит, ряд равномерно сходится, и его сумма равна σ (х ) = .

Теорема доказана.

Теорема 40.4. Пусть функции u n (x ) непрерывно дифференцируемы на отрезке [ a , b ] и ряд, составленный из их производных:

(40.3)

равномерно сходится на [ a , b ]. Тогда, если ряд сходится хотя бы в одной точке, то он сходится равномерно на всем [ a , b ], его сумма s (x )= является непрерывно дифференцируемой функцией и

(ряд можно почленно дифференцировать).

Доказательство.

Определим функцию σ(х ) как. По теореме 40.3 ряд (40.3) можно почленно интегрировать:

Ряд, стоящий в правой части этого равенства, равномерно сходится на [ a , b ] по теореме 40.3. Но числовой ряд по условию теоремы сходится, следовательно, равномерно сходится и ряд. Тогда Функция σ(t ) является суммой равномерно сходящегося ряда непрерывных функций на [ a , b ] и поэтому сама непрерывна. Тогда функция непрерывно дифференцируема на [ a , b ], и, что и требовалось доказать.

Определение 41.1 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(41.1)

Замечание. С помощью замены х – х 0 = t ряд (41.1) можно привести к виду, поэтому все свойства степенных рядов достаточно доказать для рядов вида

(41.2)

Теорема 41.1 (1-я теорема Абеля). Если степенной ряд (41.2) сходится при х = х 0 , то при любом x : | x | < | x 0 | ряд (41.2) сходится абсолютно. Если же ряд (41.2) расходится при х = х 0 , то он расходится при любом x : | x | > | x 0 |.

Доказательство.

Если ряд сходится, то поэтому существует константа с > 0:

Следовательно, а ряд при | x |<| x 0 | сходится, так как является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Значит, ряд при | x |<| x 0 | абсолютно сходится.

Если известно, что ряд (41.2) расходится при х = х 0 , то он не может сходиться при | x | > | x 0 | , так как из ранее доказанного при этом следовало бы, что он сходится и в точке х 0 .

Таким образом, если найти наибольшее из чисел х 0 > 0 таких, что (41.2) сходится при х = х 0 , то областью сходимости данного ряда, как следует из теоремы Абеля, будет интервал (- х 0 , х 0 ), возможно, включающий одну или обе границы.

Определение 41.2. Число R ≥ 0 называется радиусом сходимости степенного ряда (41.2), если этот ряд сходится, а расходится. Интервал (- R , R ) называется интервалом сходимости ряда (41.2).

Примеры.

1. Для исследования абсолютной сходимости ряда применим признак Даламбера: . Следовательно, ряд сходится только при х = 0, и радиус его сходимости равен 0: R = 0.
2. Используя тот же признак Даламбера, можно показать, что ряд сходится при любом х , то есть
3. Для ряда по признаку Даламбера получим:

Следовательно, при –1 < x < 1 ряд сходится, при

x < -1 и x > 1 расходится. При х = 1 получаем гармонический ряд, который, как извест-но, расходится, а при х = -1 ряд сходится условно по признаку Лейбница. Таким образом, радиус сходимости рассматриваемого ряда R = 1, а интервал сходи-мости – [-1, 1).

Формулы для определения радиуса сходимости степенного ряда.

1. Формула Даламбера.

Рассмотрим степенной ряд и применим к нему признак Даламбера: для сходимости ряда необходимо, чтобы.Если существует, то область сходимости определяется неравенством, то есть

- (41.3)

• формула Даламбера для вычисления радиуса сходимости.

1. Формула Коши-Адамара.

Используя радикальный признак Коши и рассуждая аналогичным образом, получим, что можно задать область сходимости степенного ряда как множество решений неравенства при условии существования этого предела, и, соответствен-но, найти еще одну формулу для радиуса сходимости:

(41.4)

• формула Коши-Адамара .

Свойства степенных рядов.

Теорема 41.2 (2-я теорема Абеля). Если R – радиус сходимости ряда (41.2) и этот ряд сходится при x = R , то он равномерно сходится на интервале (- R , R ).

Доказательство.

Знакоположительный ряд сходится по теореме 41.1. Следовательно, ряд (41.2) равномерно сходится в интервале [-ρ, ρ] по теореме 40.1. Из выбора ρ следует, что интервал равномерной сходимости – (- R , R ), что и требовалось доказать.

Следствие 1 . На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма ряда (41.2) есть непрерывная функция.

Доказательство.

Члены ряда (41.2) являются непрерывными функциями, и ряд равномерно сходится на рассматриваемом отрезке. Тогда непрерывность его суммы следует из теоремы 40.2.

Следствие 2. Если пределы интегрирования α, β лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда:

(41.5)

Доказательство этого утверждения следует из теоремы 40.3.

Теорема 41.3. Если ряд (41.2) имеет интервал сходимости (- R , R ), то ряд

φ (x) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x ² +…+ na n x n- 1 +…, (41.6)

полученный почленным дифференцированием ряда (41.2), имеет тот же интервал сходимости (- R , R ). При этом

φ΄(х) = s΄ (x ) при | x | < R , (41.7)

то есть внутри интервала сходимости производная от суммы степенного ряда равна сумме ряда, полученного его почленным дифференцированием.

Доказательство.

Выберем ρ: 0 < ρ < R и ζ: ρ < ζ < R . Тогда ряд сходится, следовательно, то есть Если | x | ≤ ρ, то

Где Таким образом, члены ряда (41.6) по модулю меньше членов знакоположительного ряда, который сходится по признаку Даламбера:

то есть является мажорантой для ряда (41.6) при Поэтому ряд (41.6) равно-мерно сходится на [-ρ, ρ]. Следовательно, по теореме 40.4 верно равенство (41.7). Из выбора ρ следует, что ряд (41.6) сходится в любой внутренней точке интервала (- R , R ).

Докажем, что вне этого интервала ряд (41.6) расходится. Действительно, если бы он сходился при x 1 > R , то, интегрируя его почленно на интервале (0, x 2 ), R < x 2 < x 1 , мы получили бы, что ряд (41.2) сходится в точке х 2 , что противоречит условию теоремы. Итак, теорема полностью доказана.

Замечание . Ряд (41.6) можно, в свою очередь, почленно дифференцировать и проделывать эту операцию сколько угодно раз.

Вывод: если степенной ряд сходится на интервале (- R , R ), то его сумма представляет собой функцию, имеющую внутри интервала сходимости производные любого порядка, каждая из которых есть сумма ряда, полученного из исходного с помощью почленного дифференцирования соответствующее количество раз; при этом интервал сходимости для ряда из производных любого порядка есть (- R , R ).

Кафедра информатики и высшей математики КГПУ

4.1. Функциональные ряды: основные понятия, область сходимости

Определение 1 . Ряд, члены которого являются функциями одной или
нескольких независимых переменных, определёнными на некотором множестве, называется функциональным рядом .

Рассмотрим функциональный ряд , члены которого являются функциями одной независимой переменной х . Сумма первых n членов ряда является частичной суммой данного функционального ряда. Общий член есть функция от х , определённая в некоторой области. Рассмотрим функциональный ряд в точке . Если соответствующий числовой ряд сходится, т.е. существует предел частичных сумм этого ряда
(где − сумма числового ряда), то точка называется точкой сходимости функционального ряда . Если числовой ряд расходится, то точка называется точкой расходимости функционального ряда.

Определение 2 . Областью сходимости функционального ряда называется множество всех таких значений х , при которых функциональный ряд сходится. Область сходимости, состоящая из всех точек сходимости, обозначается . Отметим, что R.

Функциональный ряд сходится в области , если для любого он сходится как числовой ряд, при этом его сумма будет некоторой функцией . Это так называемая предельная функция последовательности : .

Как находить область сходимости функционального ряда ? Можно использовать признак, аналогичный признаку Даламбера. Для ряда составляем и рассматриваем предел при фиксированном х :
. Тогда является решением неравенства и решением уравнения (берём только те решения уравнения, в
которых соответствующие числовые ряды сходятся).

Пример 1 . Найти область сходимости ряда .

Решение . Обозначим , . Составим и вычислим предел
, тогда область сходимости ряда определяется неравенством и уравнением . Исследуем дополнительно сходимость исходного ряда в точках, являющимися корнями уравнения:

а) если , , то получается расходящийся ряд ;

б) если , , то ряд сходится условно (по

признаку Лейбница, пример 1, лекция 3, разд. 3.1).

Таким образом, область сходимости ряда имеет вид: .

4.2. Степенные ряды: основные понятия, теорема Абеля

Рассмотрим частный случай функционального ряда, так называемый степенной ряд , где
.

Определение 3 . Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где − постоянные числа, называемые коэффициентами ряда .

Степенной ряд есть «бесконечный многочлен», расположенный по возрастающим степеням . Любой числовой ряд является
частным случаем степенного ряда при .

Рассмотрим частный случай степенного ряда при :
. Выясним, какой вид имеет
область сходимости данного ряда .

Теорема 1 (теорема Абеля) . 1) Если степенной ряд сходится в точке , то он абсолютно сходится при всяком х , для которого справедливо неравенство .

2) Если же степенной ряд расходится при , то он расходится при всяком х , для которого .

Доказательство . 1) По условию степенной ряд сходится в точке ,

т. е. сходится числовой ряд

(1)

и по необходимому признаку сходимости его общий член стремится к 0, т.е. . Следовательно, существует такое число , что все члены ряда ограничены этим числом:
.

Рассмотрим теперь любое х , для которого , и составим ряд из абсолютных величин: .
Запишем этот ряд в другом виде: так как , то (2).

Из неравенства
получаем , т.е. ряд

состоит из членов, которые больше соответствующих членов ряда (2). Ряд представляет собой сходящийся ряд геометрической прогрессии со знаменателем , причём , так как . Следовательно, ряд (2) сходится при . Таким образом, степенной ряд абсолютно сходится.

2) Пусть ряд расходится при , иными словами,

расходится числовой ряд . Докажем, что для любого х () ряд расходится. Доказательство ведётся от противного. Пусть при некотором

фиксированном () ряд сходится, тогда он сходится при всех (см. первую часть данной теоремы), в частности, при , что противоречит условию 2) теоремы 1. Теорема доказана.

Следствие . Теорема Абеля позволяет судить о расположении точки сходимости степенного ряда. Если точка является точкой сходимости степенного ряда, то интервал заполнен точками сходимости; если точкой расходимости является точка , то
бесконечные интервалы заполнены точками расходимости (рис. 1).

Рис. 1. Интервалы сходимости и расходимости ряда

Можно показать, что существует такое число , что при всех
степенной ряд абсолютно сходится, а при − расходится. Будем считать, что если ряд сходится только в одной точке 0, то , а если ряд сходится при всех , то .

Определение 4 . Интервалом сходимости степенного ряда называется такой интервал , что при всех этот ряд сходится и притом абсолютно, а для всех х , лежащих вне этого интервала, ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание . На концах интервала вопрос о сходимости или расходимости степенного ряда решается отдельно для каждого конкретного ряда.

Покажем один из способов определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд и обозначим .

Составим ряд из абсолютных величин его членов:

и применим к нему признак Даламбера.

Пусть существует

.

По признаку Даламбера ряд сходится, если , и расходится, если . Отсюда ряд сходится при , тогда интервал сходимости: . При ряд расходится, так как .
Используя обозначение , получим формулу для определения радиуса сходимости степенного ряда:

,

где − коэффициенты степенного ряда.

Если окажется, что предел , то полагаем .

Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда также можно использовать радикальный признак Коши, радиус сходимости ряда определяется из соотношения .

Определение 5 . Обобщенным степенным рядом называется ряд вида

. Его также называют рядом по степеням .
Для такого ряда интервал сходимости имеет вид: , где − радиус сходимости.

Покажем, как находится радиус сходимости для обобщенного степенного ряда.

т.е. , где .

Если , то , и область сходимости R; если , то и область сходимости .

Пример 2 . Найти область сходимости ряда .

Решение . Обозначим . Составим предел

Решаем неравенство: , , следовательно, интервал

сходимости имеет вид: , причём R = 5. Дополнительно исследуем концы интервала сходимости:
а) , , получаем ряд , который расходится;
б) , , получаем ряд , который сходится
условно. Таким образом, область сходимости: , .

Ответ: область сходимости .

Пример 3. Ряд расходится для всех , так как при , радиус сходимости .

Пример 4. Ряд сходится при всех R, радиус сходимости .