В рамках любого учебного курса изучение физики начинается с механики. Не с теоретической, не с прикладной и не вычислительной, а со старой доброй классической механики. Эту механику еще называют механикой Ньютона. По легенде, ученый гулял по саду, увидел, как падает яблоко, и именно это явление подтолкнуло его к открытию закона всемирного тяготения. Конечно, закон существовал всегда, а Ньютон лишь придал ему понятную для людей форму, но его заслуга – бесценна. В данной статье мы не будем расписывать законы Ньютоновской механики максимально подробно, но изложим основы, базовые знания, определения и формулы, которые всегда могут сыграть Вам на руку.

Механика – раздел физики, наука, изучающая движение материальных тел и взаимодействия между ними.

Само слово имеет греческое происхождение и переводится как «искусство построения машин» . Но до построения машин нам еще как до Луны, поэтому пойдем по стопам наших предков, и будем изучать движение камней, брошенных под углом к горизонту, и яблок, падающих на головы с высоты h.

Почему изучение физики начинается именно с механики? Потому что это совершенно естественно, не с термодинамического же равновесия его начинать?!

Механика – одна из старейших наук, и исторически изучение физики началось именно с основ механики. Помещенные в рамки времени и пространства, люди, по сути, никак не могли начать с чего-то другого, при всем желании. Движущиеся тела – первое, на что мы обращаем свое внимание.

Что такое движение?

Механическое движение – это изменение положения тел в пространстве относительно друг друга с течением времени.

Именно после этого определения мы совершенно естественно приходим к понятию системы отсчета. Изменение положения тел в пространстве относительно друг друга. Ключевые слова здесь: относительно друг друга . Ведь пассажир в машине движется относительно стоящего на обочине человека с определенной скоростью, и покоится относительно своего соседа на сиденье рядом, и движется с какой-то другой скоростью относительно пассажира в машине, которая их обгоняет.

Именно поэтому, для того, чтобы нормально измерять параметры движущихся объектов и не запутаться, нам нужна система отсчета - жестко связанные между собой тело отсчета, система координат и часов. Например, земля движется вокруг солнца в гелиоцентрической системе отсчета. В быту практически все свои измерения мы проводим в геоцентрической системе отсчета, связанной с Землей. Земля – тело отсчета, относительно которого движутся машины, самолеты, люди, животные.

Механика, как наука, имеет свою задачу. Задача механики – в любой момент времени знать положение тела в пространстве. Иными словами, механика строит математическое описание движения и находит связи между физическими величинами, его характеризующими.

Для того, чтобы двигаться далее, нам понадобится понятие “материальная точка ”. Говорят, физика – точная наука, но физикам известно, сколько приближений и допущений приходится делать, чтобы согласовать эту самую точность. Никто никогда не видел материальной точки и не нюхал идеального газа, но они есть! С ними просто гораздо легче жить.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого в контексте данной задачи можно пренебречь.

Разделы классической механики

Механика состоит из нескольких разделов

• Кинематика
• Динамика
• Статика

Кинематика с физической точки зрения изучает, как именно тело движется. Другими словами, этот раздел занимается количественными характеристиками движения. Найти скорость, путь – типичные задачи кинематики

Динамика решает вопрос, почему оно движется именно так. То есть, рассматривает силы, действующие на тело.

Статика изучает равновесие тел под действием сил, то есть отвечает на вопрос: а почему оно вообще не падает?

Границы применимости классической механики

Классическая механика уже не претендует на статус науки, объясняющей все (в начале прошлого века все было совершенно иначе), и имеет четкие рамки применимости. Вообще, законы классической механики справедливы привычном нам по размеру мире (макромир). Они перестают работать в случае мира частиц, когда на смену классической приходит квантовая механика. Также классическая механика неприменима к случаям, когда движение тел происходит со скоростью, близкой к скорости света. В таких случаях ярко выраженными становятся релятивистские эффекты. Грубо говоря, в рамках квантовой и релятивистской механики – классическая механика, это частный случай, когда размеры тела велики, а скорость – мала.

Вообще говоря, квантовые и релятивистские эффекты никогда никуда не деваются, они имеют место быть и при обычном движении макроскопических тел со скоростью, много меньшей скорости света. Другое дело, что действие этих эффектов так мало, что не выходит за рамки самых точных измерений. Классическая механика, таким образом, никогда не потеряет своей фундаментальной важности.

Мы продолжим изучение физических основ механики в следующих статьях. Для лучшего понимания механики Вы всегда можете обратиться к нашим авторам , которые в индивидуальном порядке прольют свет на темное пятно самой сложной задачи.

№1 Механика. Механическое движение.

Механика - наука о движении материальных объектов и взаимодействии между ними. Важнейшими разделами механики являются классическая механика и квантовая механика. Объекты, изучаемые механикой, называются механическими системами. Механическая система обладает определённым числом k степеней свободы и описывается с помощью обобщённых координат q1, … qk. Задача механики состоит в изучении свойств механических систем, и, в частности, в выяснении их эволюции во времени.

Наиболее важными механическими системами являются :1) материальная точка 2)гармонический осциллятор 3)математический маятник 4)крутильный маятник 5)абсолютно твёрдое тело 6)деформируемое тело 7)абсолютно упругое тело 8)сплошная среда

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

Виды механического движения

Механическое движение можно рассматривать для разных механических объектов:

Движение материальной точки полностью определяется изменением её координат во времени (например, двух на плоскости). Изучением этого занимается кинематика точки.

1)Прямолинейное движение точки (когда она всегда находится на прямой, скорость параллельна эта прямой)

2)Криволинейное движение это движение точки по траектории, не представляющей собою прямую, с произвольным ускорением и произвольной скоростью в любой момент времени (например, движение по окружности).

Движение твёрдого тела складывается из движения какой-либо его точки (например, центра масс) и вращательного движения вокруг этой точки. Изучается кинематикой твёрдого тела.

1)Если вращение отсутствует, то движение называется поступательным и полностью определяется движением выбранной точки. Заметим, что при этом оно не обязательно является прямолинейным.

2)Для описания вращательного движения - движения тела относительно выбранной точки, например закреплённого в точке, используют Углы Эйлера. Их количество в случае трёхмерного пространства равно трём.

3)Также для твёрдого тела выделяют плоское движение - движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, при этом оно полностью определяется одним из сечений тела, а сечение тела положением любых двух точек.

Движение сплошной среды . Здесь предполагается, что движение отдельных частиц среды довольно независимо друг от друга (обычно ограничено лишь условиями непрерывности полей скорости), поэтому число определяющих координат бесконечно (неизестными становятся функции).

№4 Основные законы динамики материальной точки

Второй закон Ньютона можно записать в другой форме. Согласно определению:

Тогдаили

Вектор называется импульсом или количеством движения тела и совпадает по направлению с вектором скорости, а выражает изменение вектора импульса. Преобразуем последнее выражение к следующему виду: Вектор называется импульсом силы. Это уравнение является выражением основного закона динамики материальной точки: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.

Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил. Осн.законы механики (зак-ны Галилея-Нютона): закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние; основной закон динамики (2-ой закон (Ньютона)): ускорение матер.точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление; закон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона)): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие; закон независимости сил: несколько одновременно действующих на матер.точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме. В классической механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, – мера инертности тела и его гравитационных свойств. Масса = весу тела, деленному на ускорение свободного падения. m=G/g, g9,81м/с2. g зависит от географической широты места и высоты над уровнем моря – не постоянная величина. Сила – 1Н (Ньютон) = 1кгм/с2. Система отсчета, в которой проявляются 1-ый и 2-ой законы, назыв. инерциальной системой отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точки:, в проекции на декартовы оси коорд.:, на оси естественного трехгранника: ma =Fi; man =Fin; mab =Fib (ab =0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е. ( – радиус кривизны траектории в текущей точке). Вслучае плоского движения точки в полярных координатах:. Две основные задачи динамики: первая задача динамики – зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки. – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение x=f(t,C1 ,C2).

Постоянные интегрирования C1 ,C2 ищут из начальных условий: t=0, x=x0, =Vx =V0, x=f(t,x0,V0) – частное решение – закон движения точки.

№6 Закон изменения импульса механической системы

Физическое содержание понятия импульс или количество движения определяется предназначением этого понятия. Импульс – один из параметров, описывающих качественно и количественно движение механической системы.

Теорема об изменении импульса незамкнутой системы: Если система незамкнута, то ее импульс не сохраняется, и изменение количества движения такой системы с течением времени выражается формулой:

Вектор K называется главным вектором внешних действующих сил.

(Доказательство) Продифференцируем (4):

Воспользуемся уравнением движения незамкнутой системы:

Импульс Импульс тела (материальной точки) - векторная величина, равная произведению массы тела (материальной точки) на её скорость. Импульс системы тел (материальных точек) - векторная сумма импульсов всех точек. Импульс силы - произведение силы на время её действия (или интеграл по времени, если сила изменяется со временем). Закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчета импульс замкнутой системы сохраняется.

Изменение импульса системы материальных точек - в инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на материальные точки системы. Силы, действующие на частицу в механической системе, можно подразделить на внутренние и внешние силы (рис. 5.2). Внутренними называются силы, которые обусловлены взаимодействием частиц системы между собой. Внешние силы характеризуют действие не входящих в систему (т.е. внешних) тел, на частицы системы. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой.

№10 Механическая работа Механической работой или просто работой по­стоянной силы на перемещении называется скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы, мо­дуля перемещения и косинуса угла между этими векторами. Если работу обозначить буквой А, то по определению А=Fscos(a) α – угол между силой и перемещением. Произведение Fcosa представляет собой проекцию силы на направление перемещения. Именно от величины этой проекции зависит то, какой будет работа силы на данном перемещении. Если, в частности, сила F перпендикулярна перемеще­нию, то эта проекция равна нулю и никакой работы при этом сила F не совершает. При других значениях угла работа силы может быть как по­ложительной (когда 0°≤α<90°), так и отрицательной (когда 90°<α≤180°). Единицей работы в СИ является 1 Дж (джоуль). 1 Дж - это работа, которую совершает постоянная сила в 1 Н на перемеще­нии в 1 м в направлении, совпадающем с линией действия этой силы.

Работа любой постоянной силы обладает следующими двумя за­мечательными свойствами: 1.Работа постоянной силы на любой замкнутой траек­тории всегда равна нулю. 2.Работа постоянной силы, совершаемая при перемещении частицы из одной точки в другую, не зависит от формы тра­ектории, соединяющей эти точки. По формуле А=Fscos(a) можно находить работу лишь посто­янной силы. Если же действующая на тело сила меняется от точки к точке, то работа на всей территории определяется по формуле:A=A1+A2+…+An Когда какой-либо механизм совершает работу, надо отличать полную работу от полезной, т. е. от той работы, ради которой и используется данное устройство (механизм) Коэффициент полезного действия равен:

Мощность Для характеристики процесса совершения работы важно знать также время, за которое она совершается. Быстроту совершения работы характеризуют особой величиной, называемой мощностью. Мощностью называется скалярная физическая величина, равная отношению работы ко времени, в течение которого она была совершена. Обозначается буквой Р: P = A / t = Fv Единицей мощности в СИ является 1 Вт (ватт). 1 Вт - это такая мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж.

№11 Кинетическая энергия С понятием работы тесно связано другое фундаментальное фи­зическое понятие - понятие энергии. Поскольку в механике изу­чается, во-первых, движение тел, а во-вторых, взаимодействие тел между собой, то принято различать два вида механической энергии: кинетическую энергию, обусловленную движением тела, и потен­циальную энергию, обусловленную взаимодействием тела с другими телами. Кинетическая энергия, очевидно, должна зависеть от скорости движения тела v , а потенциальная - от взаимного расположения взаимодействующих тел. Кинетической энергией частицы называется скалярная физическая величина, равная половине произве­дения массы этой частицы на квадрат ее скорости.

Теорема о кинетической энергии: Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на это тело,

Если - конечная кинетическая энергия, а -начальная кинетическая энергия, то.

Если движущееся вначале тело постепенно останавливается, например, ударившись о какую-либо преграду, и его кинетическая энергия Ek обращается в нуль, то со­вершенная им при этом работа будет полностью определяться его начальной кинетической энергией.

Физический смысл кинетической энергии : ки­нетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершить в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Чем больше «запас» кинетической энергии у тела, тем большую работу оно способно совершить.

№12 Потенциальная энергия

Вторым видом энергии является потенциальная энергия–энергия, обусловленная взаимодействием тел.

Величину, равную произведению массы тела т на ускорение сво­бодного падения g и на высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли. Усло­вимся обозначать потенциальную энергию буквой Ер.

Ер = mgh. Величину, равную половине произведения коэффициента упругости k тела на квадрат деформации х , называют потенциальной энергией упруго деформированного тела :

В обоих случаях потенциальная энергия определяется располо­жением тел системы или частей одного тела относительно друг друга.

Введя понятие потенциальной энергии, мы получаем возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потен­циальной энергии. Под изменением величины понимают разность между ее конечным и начальным значениями

Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии. Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе сис­темы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком. Знак «минус» в формуле не означает, что работа консервативных сил всегда отрицательна. Он означает лишь, что изменение потенциальной энергии и работа сил в системе всегда имеют противоположные знаки. Нулевой уровень – уровень отсчета потенциальной энергии. Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором ее потенциальная энергия считается равной нулю. Этому состоянию соответствует нулевой уровень потенциальной энергии. Ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потен­циальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел. Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальной энергией. Тогда потен­циальная энергия всегда положительна.

№25 Основы Молекулярно-Кинетической Теории Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) объясняет свойства макроскопических тел и тепловых процессов, протекающих в них, на основе представлений о том, что все тела состоят из отдельных, беспорядочно движущихся частиц. Основные понятия молекулярно-кинетической теории: Атом (от греческого atomos - неделимый) - наименьшая часть химического элемента, являющаяся носителем его свойств. Размеры атома порядка 10-10 м. Молекула - наименьшая устойчивая частица данного вещества, обладающая его основными химическими свойствами и состоящая из атомов, соединенных между собой химическими связями. Размеры молекул 10-10 -10-7 м. Макроскопическое тело - тело, состоящее из очень большого числа частиц. Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) - теория, рассматривающая строение вещества с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

1)все тела состоят из частиц, размером которых можно пренебречь: атомов, молекул и ионов; 2)частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом); 3)частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

Основное уравнение МКТ

где k является отношением газовой постоянной R к числу Авогадро, а i - число степеней свободы молекул. Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной l и одна частица массой m в нём. Обозначим скорость движения vx , тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен mvx , а после - − mvx , поэтому стенке передается импульс p = 2mvx . Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно.

Отсюда следует:

поэтому давление.

Соответственно, и.

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: , аналогично для осей y и z.

Поскольку, то.

Пусть - средняя кинетическая энергия молекул, а Ek - полная кинетическая энергия всех молекул, тогда:

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулыУравнение среднеквадратичной скорости молекулы легко выводится из основного уравнения МКТ для одного моля газа.

Для 1 моля N = Na , где Na - постоянная Авогадро Na m = Mr , где Mr - молярная масса газа Отсюда окончательно

Изопроцессы - это процессы, протекающие при значении одного из макроскопических параметров. Существуют три изопроцесса: изотермический, изохорный, изобарный.

26 Термодинамическая система. Термодинамический процесс Термодинамическая система - это любая область пространства, ограниченная действительными или воображаемыми границами, выбранными для анализа её внутренних термодинамических параметров. Пространство, смежное с границей системы, называется внешней средой. У всех термодинамических систем есть среда, с которой может происходить обмен энергии и вещества. Границы термодинамической системы могут быть неподвижными или подвижными. Системы могут быть большими или маленькими, в зависимости от границ. Например, система может охватывать всю холодильную систему или газ в одном из цилиндров компрессора. Система может существовать в вакууме или может содержать несколько фаз одного или более веществ. Термодинамические системы могут содержать сухой воздух и водяной пар (два вещества) или воду и водяной пар (две стадии одного и того же вещества). Однородная система состоит из одного вещества, одной его фазы или однородной смеси нескольких компонентов. Системы бывают изолированными (замкнутыми) или открытыми. В изолированной системе не происходит никаких обменных процессов с внешней средой. В открытой системе и энергия и вещество могут переходить из системы в среду и обратно. При анализе насосов и теплообменников необходима открытая система, так как жидкости должны пересекать границы при анализе. Если массовый расход открытой системы устойчивый и однородный, систему называют открытой системой с постоянным расходом. Состояние термодинамической системы определяется физическими свойствами вещества. Температура, давление, объем, внутренняя энергия, энтальпия и энтропия - это термодинамические величины, определяющие те или иные интегральные параметры системы. Данные параметры строго определяются лишь для систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия.

Термодинамический процесс - всякое изменение, происходящее в термодинамической системе и связанное с изменением хотя бы одного ее параметра состояния.

36 Обратимые и необратимые процессы

Если внешнее воздействие на систему проводить в прямом и обратном направлениях, например, чередовать расширение и сжатие, перемещая поршень в цилиндре, то параметры состояния системы также будут меняться в прямом и обратном направлениях. Заданные извне параметры состояния называют внешними параметрами. В рассматриваемом нами простейшем случае роль внешнего параметра выполняет объем системы. Обратимыми называются такие процессы, для которых при прямом и обратном изменении внешних параметров система будет проходить через одни и те же промежуточные состояния. Поясним на примере, что это не всегда справедливо. Если мы будем двигать поршень вверх-вниз очень быстро, так что равномерность концентрации газа в цилиндре не будет успевать установиться, то при сжатии под поршнем будет возникать уплотнение газа, а при расширении - разрежение, то есть промежуточные состояния системы (газа) при одном и том же положении поршня будут различными в зависимости от направления его движения. Это пример необратимого процесса. Если же поршень двигается достаточно медленно, так что концентрация газа успевает выравняться, то при прямом и обратном движениях система будет проходить через состояния с одинаковыми параметрами при одинаковом положении поршня. Это - обратимый процесс. Из приведенного примера видно, что для обратимости необходимо, чтобы изменение внешних параметров осуществлялось достаточно медленно, так, чтобы система успевала вернуться к состоянию равновесия (установление равномерного распределения плотности газа), или, иначе говоря, чтобы все промежуточные состояния были равновесными (точнее - квазиравновесными). Обратим внимание, что в приведенном примере понятия «медленно» и «быстро» по отношению к движению поршня нужно брать в сравнении со скоростью звука в газе, так как именно она является характерной скоростью выравнивания концентраций (напомним, что звук - это волнообразное распространение чередующихся уплотнений и разрежений среды). Так что большинство используемых в технике двигателей удовлетворяют критерию «медленности» движения поршня с точки зрения обратимости происходящих процессов. Именно в этом смысле мы говорили о «медленном» движении поршня при введении понятия работы. Рассмотрим другие примеры необратимых процессов.
Пусть сосуд разделен перегородкой на две части. С одной стороны находится газ, а с другой - вакуум. В какой-то момент открывается кран и начинается необратимое перетекание газа в пустоту. Здесь мы также имеем дело с неравновесными промежуточными состояниями. После достижения равновесия перетекание газа прекратится. Приведем в тепловой контакт два тела с различными температурами. Полученная система будет неравновесной до тех пор, пока не выравняются температуры тел, что будет сопровождаться необратимым переходом тепла от более нагретого тела к менее нагретому.

39. II - закон термодинамики.

Первый закон термодинамики означает невозможность существования вечного двигателя первого рода – машины, которая создавала бы энергию. Однако этот закон не накладывает ограничений на превращение энергии из одного вида в другой. Механическую работу всегда можно превратить в теплоту (например, с помощью трения), но для обратного превращения имеются ограничения. Иначе можно было бы превращать в работу теплоту, взятую от других тел, т.е. создать вечный двигатель второго рода . Второй закон термодинамики исключает возможность создания вечного двигателя второго рода. Имеется несколько различных, но эквивалентных формулировок этого закона. Приведем две из них. 1. Постулат Клаузиуса. Процесс, при котором не происходит других изменений, кроме передачи теплоты от горячего тела к холодному, является необратимым, т.е. теплота не может перейти от холодного тела к горячему без каких-либо других изменений в системе. 2. Постулат Кельвина. Процесс, при котором работа переходит в теплоту без каких-либо других изменений в системе, является необратимым, т.е. невозможно превратить в работу всю теплоту, взятую от источника с однородной температурой, не производя других изменений в системе. В этих постулатах существенно, что в системе не происходит никаких других изменений, кроме указанных. При наличии же изменений превращение теплоты в работу в принципе возможно. Так, при изотермическом расширенн идеального газа, заключенного в цилиндр с поршнем, его внутренняя энергия не изменяется, так как она зависит только от температуры. Поэтому из первого закона термодинамики следует, что вся теплота, полученная газом от окружающей среды, преобразуется в работу. Это не противоречит постулату Кельвина, поскольку превращение теплоты в работу сопровождается увеличением объема газа. Из постулата Кельвина непосредственно следует невозможность существования вечного двигателя второго рода. Поэтому неудача всех попыток построить такой двигатель является экспериментальным доказательством второго закона термодинамики. Докажем эквивалентность постулатов Клаузиуса и Кельвина. Для этого нужно показать, что если постулат Кельвина неверен, то неверен и постулат Клаузиуса, и наоборот. Если постулат Кельвина неверен, то теплоту, взятую от источника с температурой T 2 можно превратить а работу, а затем, например, с помощью трения превратить эту работу в теплоту и нагреть тело, имеющее температуру T 1 >T 2. Единственным результатот такого процесса будет передача теплоты от холодного тела к горячему, что противоречит постулату Клаузиуса.

Вторая часть доказательства эквивалентности двух постулатов основана на рассмотрении возможности преобразования теплоты в работу. Обсуждению этого вопроса посвящен следующий раздел.

№32 Барометрическая формула. Распределение Больцмана Барометрическая формула - зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

где p - давление газа в слое, расположенном на высоте h , p 0- давление на нулевом уровне (h = h 0), M - молярная масса газа, R - газовая постоянная, T - абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

где M - молярная масса газа, R - газовая постоянная. Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле. При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана. Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина, определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT . Чем выше температура T , тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m . Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте. Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды. Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования - метода определения разности высот Δh между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению (p 1 и p 2). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде: Δh = 18400(1 + at )lg(p 1 / p 2) (в м), где t - средняя температура слоя воздуха между точками измерения, a - температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1-0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения. Распределение Больцмана - распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия; открыто Л. Больцманом в 1868-1871. Согласно распределению Больцмана среднее чсло частиц с полной энергией равно

где - кратность состояния частицы с энергией - число возможных состояний частицы с энергией. Постоянная Z находится из условия, что сумма по всем возможным значениям равна заданному полному числу частиц в системе (условие нормировки):

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию можно считать состоящей из 1)кинетической энергии (кин) частицы (молекулы или атома), 2)внутренней энергии (вн) (например, энергии возбуждения электронов) и 3)потенциальной энергии (пот) во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

45,46. Фазовые переходы первого и второго рода

Фазовый переход (фазовое превращение) в термодинамике - переход вещества из одной термодинамической фазы в другую при изменении внешних условий. С точки зрения движения системы по фазовой диаграмме при изменении её интенсивных параметров (температуры, давления и т. п.), фазовый переход происходит, когда система пересекает линию, разделяющую две фазы. Поскольку разные термодинамические фазы описываются различными уравнениями состояния, всегда можно найти величину, которая скачкообразно меняется при фазовом переходе. Поскольку разделение на термодинамические фазы - более мелкая классификация состояний, чем разделение по агрегатным состояниям вещества, то далеко не каждый фазовый переход сопровождается сменой агрегатного состояния. Однако любая смена агрегатного состояния есть фазовый переход. Наиболее часто рассматриваются фазовые переходы при изменении температуры, но при постоянном давлении (как правило равном 1 атмосфере). Именно поэтому часто употребляют термины «точка» (а не линия) фазового перехода, температура плавления и т. д. Разумеется, фазовый переход может происходить и при изменении давления, и при постоянных температуре и давлении, но при изменении концентрации компонентов (например, появление кристалликов соли в растворе, который достиг насыщения). Классификация фазовых переходов При фазовом переходе первого рода скачкообразно изменяются самые главные, первичные экстенсивные параметры: удельный объём (т.е. плотность), количество запасённой внутренней энергии, концентрация компонентов и т. п. Подчеркнём: имеется в виду скачкообразное изменение этих величин при изменении температуры, давления и т. п., а не скачкообразное изменение во времени (насчёт последнего см. ниже раздел Динамика фазовых переходов). Наиболее распространённые примеры фазовых переходов первого рода : 1)плавление и затвердевание 2)кипение и конденсация 3)сублимация и десублимация При фазовом переходе второго рода плотность и внутренняя энергия не меняются, так что невооружённым глазом такой фазовый переход может быть незаметен. Скачок же испытывают их вторые производные по температуре и давлению: теплоёмкость, коэффициент теплового расширения, различные восприимчивости и т. д. Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества (симметрия может полностью исчезнуть или понизиться). Описание фазового перехода второго рода как следствие изменения симметрии даётся теорией Ландау. В настоящее время принято говорить не об изменении симметрии, но о появлении в точке перехода параметра порядка, равного нулю в менее упорядоченной фазе и изменяющегося от нуля (в точке перехода) до ненулевых значений в более упорядоченной фазе. Наиболее распространённые примеры фазовых переходов второго рода:1)прохождение системы через критическую точку 2)переход парамагнетик-ферромагнетик или парамагнетик-антиферромагнетик (параметр порядка - намагниченность) 3)переход металлов и сплавов в состояние сверхпроводимости (параметр порядка - плотность сверхпроводящего конденсата) 4)переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние (п.п. - плотность сверхтекучей компоненты) 5)переход аморфных материалов в стеклообразное состояние Современная физика исследует также системы, обладающие фазовыми переходами третьего или более высокого рода. В последнее время широкое распространение получило понятие квантовый фазовый переход, т.е. фазовый переход, управляемый не классическими тепловыми флуктуациями, а квантовыми, которые существуют даже при абсолютном нуле температур, где классический фазовый переход не может реализоваться вследствие теоремы Нернста.

47 . Строение жидкости

Жидкость занимает пpомежуточное положение между твеpдым телом и газом. В чем ее сходство с газом? Жидкость, как и газы, изотpопна. Кpоме того, жидкость обладает текучестью. В ней, как и в газах, отсутствуют касательные напpяжения (напpяжения на сдвиг). Пожалуй, только этими свойствами и огpаничивается сходство жидкости с газом. Значительно существеннее сходство жидкости с твеpдыми телами. Жидкости тяжелы, т.е. их удельные веса сpавнимы с удельными весами твеpдых тел. Жидкости, как и твеpдые тела, плохо сжимаемы. Вблизи темпеpатуp кpисталлизации их теплоемкости и дpугие тепловые хаpактеpистики близки к соответствующим хаpактеpистикам твеpдых тел. Все это говоpит о том, что по своему стpоению жидкости должны в чем-то напоминать твеpдые тела. Теоpия должна объяснить это сходство, хотя должна находить и объяснение отличий жидкостей от твеpдых тел. В частности, она должна объяснить пpичину анизотpопии кpисталлических тел и изотpопию жидкостей. Удовлетвоpительное объяснение стpоения жидкостей пpедложил советский физик Я.Фpенкель. Согласно теоpии Фpенкеля жидкости имеют так называемое квазикpисталлическое стpоение. Кpисталлическое стpоение хаpактеpизуется пpавильным pасположением атомов в пpостpанстве. Оказывается, в жидкостях тоже наблюдается до известной степени пpавильное pасположение атомов, но лишь в малых областях. В малой области наблюдается пеpиодическое pасположение атомов, но по меpе увеличения pассматpиваемой области в жидкости пpавильное, пеpиодическое pасположение атомов теpяется и на больших ее участках полностью исчезает. Пpинято говоpить, что в твеpдых телах имеет место «дальний поpядок» в pасположении атомов (пpавильная кpисталлическая стpуктуpа в больших областях пpостpанства, охватывающих очень большое число атомов), в жидкостях же - «ближний поpядок». Жидкость как бы pазбивается на мелкие ячейки, в пpеделах котоpых и наблюдается кpисталлическое, пpавильное стpоение. Четких гpаниц между ячейками не существует, гpаницы pазмыты. Такое стpоение жидкостей и называется квазикpисталлическим.
Хаpактеp теплового движения атомов в жидкостях также напоминает движение атомов в твеpдых телах. В твеpдом теле атомы совеpшают колебательное движение около узлов кpисталлической pешетки. В жидкостях имеет место до известной степени аналогичная каpтина. Здесь атомы тоже совеpшают колебательное движение возле узлов квазикpисталлической ячейки, но в отличие от атомов твеpдого тела они вpемя от вpемени пеpескакивают от одного узла к дpугому. В pезультате движение атомов будет весьма сложным: оно колебательное, но вместе с тем центp колебаний вpемя от вpемени пеpемещается в пpостpанстве. Такое движение атомов можно уподобить движению «кочевника». Атомы не пpивязаны к одному месту, они «кочуют», но на каждом месте задеpживаются на опpеделенное, очень коpоткое вpемя, пpи этом совеpшая беспоpядочные колебания. Можно ввести пpедставление о «вpемени оседлой жизни» атома. Между пpочим, в твеpдых телах атомы тоже вpемя от вpемени кочуют, но в отличие от атомов в жидкостях их «сpеднее вpемя оседлой жизни» очень велико. Из-за малых значений «сpеднего вpемени оседлой жизни» атомов в жидкостях отсутствуют касательные напpяжения (напpяжения сдвига). Если в твеpдом теле касательное усилие действует длительное вpемя, то в нем тоже наблюдается некотоpая «текучесть». Наобоpот, если в жидкости касательная нагpузка действует очень коpоткое вpемя, то жидкость по отношению к таким нагpузкам «упpуга», т.е. обнаpуживает сопpотивление дефоpмации на сдвиг.
Таким обpазом, пpедставления о «ближнем поpядке» в pасположении атомов и о «кочевом» движении атомов пpиближают теоpию жидкого состояния тела к теоpии твеpдого, кpисталлического состояния.

Динамика вращательного движения материальной точки -

никаких особенностей не имеет. Как обычно, центральное соотношение - это второй закон Ньютона для движущегося (по окружности) тела. Следует, конечно, помнить, что при вращательном движении векторное равенство, выращающее этот закон

F i =ma ,

почти всегда следует спроектировать на радиальное (нормальное) и на касательное (тангенциальное) направления:

Fn = man (*)

F t = ma t (**)

При этом аn =v2 /R - здесь v - скорость тела в данный момент времени, а R - радиус вращения. Нормальное ускорение отвечает за изменение скорости только по направлению.

Иногда аn = v2 /R называют центростремительным ускорением. Происхождение такого названия понятно: это ускорение всегда направлено к центру вращения.

№3 Движение точки по окружности

Движение точки по окружности может быть очень сложным (рис. 17).

Рассмотрим подробно движение точки по окружности, при котором v = const. Такое движение называется равномерным движением по окружности. Естественно, вектор скорости не может быть неизменным (v не равно const), так как направление скорости постоянно меняется.

Время, за которое траектория точки опишет окружность, называется периодом обращения точки (Т). Число оборотов точки в одну секунду называется частотой обращения (v). Период обращения можно найти по формуле: T=1/v

Естественно, перемещение точки за один оборот будет равно нулю. Однако пройденный путь будет равен 2ПиR, а при числе оборотов п путь будет равен 2ПиRn или 2ПиRt/T, где t - время движения.

Ускорение при равномерном движении точки по окружности направлено к ее центру и численно равно а = v2 /R.

Это ускорение называется центростремительным (или нормальным). Вывод этого равенства может быть следующим. Приведем векторы скорости к одной точке хотя бы за - Т (можно и за Т/2 или Т) (рис. 18).

Тогда сумма изменений векторов скоростей за малые промежутки времени будет равна длине дуги АВ, которая равна модулю |v2 - v1 | за время t = 1/4*Т.

Определим длину дуги. Поскольку радиусом для дуги будет модуль вектора v1 =v2 =v, то длина дуги l может быть вычислена как длина четверти окружности с радиусом v:

После сокращения получим: Если же движение равнопеременное, то v Ф const, тогда рассматривают другую составляющую ускорения, обеспечивающую изменение модуля скорости. Это ускорение называется тангенциальным: Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, оно может совпадать по направлению со скоростью (движение равноускоренное) или быть противоположно направленным (движение равнозамедленное).

Рассмотрим движение материальной точки по окружности с постоянной по величине со скоростью. В этом случае, называемое равномерным движением по окружности, касательная составляющая ускорения отсутствует (ak =0) и ускорение совпадает со своей центростремительной составляющей. За малый промежуток времени ^tточка прошла путь ^S, а радиус-вектор движущейся точки повернулся на малый угол

По величине скорость постоянна и угол ^AOB и ^BCD подобны, поэтому(48) и (49). Тогда,(50) или учитывая, что v и R постоянны и a=an (51), получим(52). При стремление, поэтому(53). Следовательно, (54).
Равномерное движение материальной точки по окружности характеризуются с угловым скоростям. Она определяется с отношению угла поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошел: (55).

Единица измерения в СИ [рад/c]. Линейная и угловая скорость связана с соотношением:(56). Равномерное движение по окружности описывается периодической функцией:f=(f+T) (57). Здесь наименьшее время повторения Т называется периодом данного процесса. В нашем случае Т-время одного полного обращения. Если за время t сделано N полных оборотов, то время одного оборота в N раз меньше t:T=t/N (58). Для характеристики такого движения вводится число полных оборотов за единицу времени v (частота вращения). Очевидно, что Т и v - величины взаимно обратные: T=t/N (59). Единица измерения частоты в СИ [Гц]. При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной скорости изменяется угловая. Поэтому вводится понятие углового ускорения. Средним угловым ускорением называется отношение изменения угловой скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло: (60). При равнопеременном движении материальной точки по окружности и. Поэтому угловая скоростьи угла поворота радиуса определяется уравнением:(61)где - начальная угловая скорость движения материальной точки.

Равномерное движение материальной точки по окружности - движение материальной точки по окружности, при котором модуль ее скорости не меняется. При таком движении материальная точка обладает центростремительным ускорением.

№2 Характеристики движения материальной точки Механическое движение материальной точки.

Простейшей формой движения материи является механическое движение, которое состоит в перемещении тел или их частей друг относительно друга.Основные характеристики движения.

Положение материальной точки М в Декартовой системе координат определяется тремя координатами (x, y, z) (рис.1) Иначе положение точки может быть задано радиус - вектором r, проведенным из начала отсчета координат 0 до точки М. При своем движение точка М описывает кривую, которая называется траекторией движения. В зависимости от Участок траектории, пройденный точкой за время t, называется длиной пути S. формы траектории движения бывают прямолинейными и криволинейными.
Пройденный путь S связан с временем движения функциональной зависимостью S=f(t)(1), которая является уравнением движения.

Простейшими видами механического движения тела, являются поступательное и вращательное движения. При этом любая прямая, соединяющая две произвольные точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Поступательно движется, например, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания.

При вращательном движении тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.

Простейшим случаем механического движения является движение точки по прямой, при котором она за равные интервалы времени проходит равные отрезки пути. При равномерном движении скорость точки, т.е. величина, равная отношению пройденного пути S к соответствующему промежутку времени t:V=S/t (2)не изменяется со временем(V=const). При неравномерном движении скорость изменяется от одной точки траектории к другой. Для оценки неравномерного движения вводится понятие средней скорости. Для этого берется отношение всего пути s ко времени t, в течение которого он пройден: Vср=S/t(3).
Следовательно, средняя скорость неравномерного движения равна такой скорости равномерного движения при которое тело проходит такой же путь S и за то же время t, как и при заданном движении.

Рассмотрим движение точки М по произвольной траектории (рис. 2). Пусть в момент времени t ее положение характеризуется радиусом-вектором r0. Через промежуток времени ^t точка займет на траектории новое положение М1, характеризуемое радиусом- вектором r. При этом она прошла путь длиной (4), а радиус вектор получил превращение: ^r=r-ro(5).

Направленный отрезок прямой, соединяющий некоторое начальное положение точки с ее последующим положением, называется перемещением. Вектор перемещения точки ^r есть векторная разность радиусов-векторов начального r0 и конечного положений r точки. При прямолинейном движении точки перемещение равно пройденному пути, при криволинейном движении оно по модулю меньше пути. Средняя скорость на участке ММ1, равная отношению(6)

Движение на участке ММ1 характеризуется направлением вектора MM1 и значением скорости Vcp. Следовательно, можно ввести вектор, численно равный средней скорости и имеющий направление вектора перемещения:(7)

Беря бесконечно малый промежуток времени (^t->0), в течение которого происходит движение, получим, что отношение ^r/^t стремится к пределу, и тогда lim(^r/^t)=V(8)

Будет выражать вектор мгновенной скорости, т.е. скорости в данный момент времени. При бесконечном уменьшении ^t различие между^S и ^r будет уменьшатся и в пределе. Они совпадут, тогда на основании (4) можно записать, что модуль скорости: V=lim(^S/^t)=dS/dt (9) т.е. мгновенная скорость при неравномерном движении численно равна первой производной пути по времени.

При неравномерном движении необходимо узнать закономерность изменения скорости со временем. Для этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем, т.е. ускорение. Ускорение, как и скорость, является векторной величиной. Отношение приращения скорости ^V к промежуток времени ^t, выражает среднее ускорение:acp=^V/^t(10). Мгновенная скорость численно равна пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени ^t к нулю: d=lim(^V/^t)=dV/dt=d^2S/dt^2(11)
Равномерное прямолинейное движение. При равномерном прямолинейном движении материальной точки мгновенная скорость не зависит от времени и и в каждой точке траектории направлена вдоль траектории. Средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости точки: (12). Таким образом, (13). График (15) при равномерном движении представляется прямой линией, параллельной оси времени Ot рис. Вид графиков (16), (17) и (18) зависит от направления вектора V и от выбора положительного направления той или иной координатной оси. При равномерном и прямолинейном движении со скоростью V вектор перемещения ^t материальной точки за промежуток времени: ^t=t-t0(19) равен: (20)

Путь S, пройденный материальной точкой при равномерном прямолинейном движении за промежуток времени ^t=t-t0(21), равен модулю ^t вектора перемещения точки за тот же промежуток времени. Поэтому (22) или, если,t0=0 ,(23)

Равнопеременное прямолинейное движение. Равнопеременное прямолинейное движение является частным случаем неравномерного движения, при котором ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению(a=const). При этом среднее ускорение acp равно и мгновенному ускорению (24). Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости V точки, движение называется равноускоренным. Модуль скорости равноускоренного движения точки с течением времени возрастает. Если направления векторов а и V противоположны, движение называется равнозамедленным. Модуль скорости при равнозамедленном движении с течением времени уменьшается. Изменение скорости (25) в течение промежутка временипри равнопеременном прямолинейном движении равно(26) или (27). Если в момент начала отсчета времени скорость точки равна V0 (начальная скорость) и ускорения а известно, то скорость V в произвольный момент времени t: (28). Проекция вектора скорости на ось ОХ прямоугольной Декартовой системы координат связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением:(29).
Вектор перемещения Dr точки за промежуток времени при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью и ускорением а равен: (30), а его проекция на ось ОХ прямоугольной декартовой системы координат при равна:(31). Путь S, пройденный точкой за промежуток временив равноускоренном прямолинейном движении с начальной скоростьюи ускорением а, при равен: (32).При путь равен:(33).
При равнозамедленном прямолинейном движении формула пути:(34).

№9 Момент инерции твердого тела

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i -й точки тела относительно этой оси определяется формулой:

. (1.84) Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства векторного произведения, получим

(1.85) Спроектируем момент импульса на ось вращения: - эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим

(1.86) где zi ,- координата i -точки вдоль оси Z , a Ri , - расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:

(1.87) Величина

(1.88) является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно данной оси вращения принимает, таким образом, вид: Mz =J ·ω. (1.89) Полученная формула аналогична формуле Pz = mVz для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости - угловая скорость. Подставив выражение (1.89) в уравнение для момента импульса (2.74), получим

J ·βz = Nz . (1.90) где βz. - проекция на ось вращения углового ускорения. Это уравне­ние эквивалентно по форме второму закону Ньютона. В общем случае несимметричного тела вектор M не совпадает по направлению с осью вращения тела и поворачивается вокруг этой ocи вместе с телом, описывая конус. Из соображений симметрии ясно что для однородного тела, симметрично­го относительно оси вращения, момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает с направлением оси вращения. В этом случае имеет место соотношение:

. (1.91) Из выражения (1.90) следует, что при равенстве нулю момент внешних сил произведение Jω остается постоянным Jω = const и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения. Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства инерции макроскопического тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки в отношении поступательного движения. Из выражения (1.88) следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела: p=m/V (1.92) Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной p=dm/dV (1.93) Момент инерции представим в виде:

где V - микроскопический объем, занимаемый точечной массой. Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела: (1.95)

Рис. Вычисление момента инерции однородного диска Здесь величины ρ и r являются функциями точки, например, ее декартовых координат. Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.). Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b ·dr , где b - толщина диска. Таким образом,

, (1.96) где R - радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R2 b , получим:

. (1.97) Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: J =J +ma 2 . (1.98)

№24 Основной закон релятивистской динамики.

Релятивистская энергия Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону

где - масса покоя , т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v .
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной закон динамики Ньютона

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса :

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие. Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая. Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.
Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса : релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и энергии – установил А. Эйнштейн:

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

Энергия покоя является внутренней энергией тела , которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.
В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии : изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:

Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.
Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.
Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

В релятивистской динамике значение кинетической энергии Ек определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е 0 тела:

При уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

№30 Распределение молекул по скоростям. Распределение Максвелла

Распределение молекул по скоростям - функциональная зависимость относительного числа молекул газа от их скорости при тепловом движении.

Распределение Максвелла. Зафиксируем значения скоростей, которыми в данный момент обладают молекулы газа, а затем изобразим их в пространстве скоростей. Это обычное трехмерное пространство, но по осям которого отложены не пространственные координаты, а проекции скоростей на соответствующие направления (см. рис. 14.5). Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек в этом пространстве будет сферически симметричным и должна зависеть только от модуля скорости или величины v2. Вероятность того, что молекулы имеют скорость в диапазоне от v до v + dv будет равна отношению числа молекул, обладающих данными скоростями dNv, к общему числу молекул N:

dPv = dNv /N. (14.23)

Исходя из определения плотности вероятности, имеем:

dNv /N = f(v)·dV = f(v)·4··v2 dv, (14.24)
где dV - элемент объема в пространстве скоростей, равный объему шарового слоя (см. рис. 14.5).

Следовательно, вероятность того, что молекулы имеют скорость в диапазоне от v до v + dv можно рассчитать с помощью выражения:

dPv = F(v)·dv, (14.25)
где F(v) = f(v)·4··v2 - функция распределения молекул по скоростям.

Максвелл, исходя из предположения о независимости распределения проекций скорости от ее направления, получил вид функции F(v), названной функцией распределения Максвелла (см. рис. 14.6). (14.26)Вид функции Максвелла зависит от температуры и от массы молекул. Заметим, что показатель экспоненты равен отношению кинетической энергии молекулы к тепловой энергии (m·v2 /2)/(k·T).

Т.о. чем выше температура, тем более вероятным становится рост числа молекул с большими скоростями, чем больше масса молекулы, тем при большей температуре с соответствующей вероятностью молекула достигает заданной скорости.

Площадь под кривой на рис. 14.6 равна вероятности того, что скорость молекулы при данной температуре имеет произвольное значение от нуля до бесконечности равна 1. Зная выражение для функции Максвелла, можно найти наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичные скорости.

Эти выражения предлагаем вам получить самостоятельно. Среднее значение скорости молекул газов при нормальных условиях составляют порядка 103 м/с. Рис. 14.8. Экспериментальная проверка распределения молекул по скоростям . Одним из классических опытов, подтверждающих наличие распределения молекул по скоростям, является опыт Штерна . Схема опыта приведена на рис. 14.7.

Установка состоит из двух коаксиальных (имеющих одну ось симметрии) цилиндров между которыми создавался вакуум. Вдоль оси цилиндров натянута платиновая нить, покрытая серебром. При пропускании через нее электрического тока атомы серебра испарялись. Во внутреннем цилиндре вырезалась щель через, которую атомы серебра проникали на поверхность внешнего цилиндра, оставляя на ней след в виде узкой вертикальной полоски.

При приведении цилиндров во вращение с постоянной угловой скоростью w след, оставляемый молекулами серебра смещался и размывался (см. рис. 14.8). Действительно, на атомы серебра в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимися цилиндрами действует сила Кориолиса Fк

Fк = 2·m·.

Эта сила отклоняет атомы серебра от прямолинейного распространения. Средняя величина смещения атомов s равна:

s = w·R·t = w2 ·R/. (14.28)

Измерив величину s из эксперимента, исходя из формулы (14.28), можно найти среднюю скорость движения молекул. Ее значение совпадает с теоретическим значением, полученным с помощью формулы Максвелла.

Более точно закон распределения молекул по скоростям был проверен в опыте Ламмерта .

48. Смачивание. Капиллярные явления

Из практики известно, что капля воды растекается на стекле и принимает форму, изображенную на рис. 98, в то время как ртуть на той же поверхности превращает­ся в несколько сплюснутую каплю (рис. 99). В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность, во втором - не смачивает ее. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающихся сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между моле­кулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремится увеличить повер­хность соприкосновения с твердым телом. Для несмачивающей жидкости силы при­тяжения между молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между моле­кулами жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего соприкос­новения с твердым телом.

К линии соприкосновения трех сред (точка О есть ее пересечение с плоскостью чертежа) приложены три силы поверхно­стного натяжения, которые направлены по касательной внутрь поверхности соприкос­новения соответствующих двух сред (рис. 98 и 99). Эти силы, отнесенные к единице длины линии соприкосновения, равны соответствующим поверхностным

натяжениям s12, s 13, s23. Угол q между касательными к поверхности жидкости и твердого тела называется краевым уг­лом. Условием равновесия капли (рис. 98) является равенство нулю суммы проекций сил поверхностного натяжения на направление касательной к поверхно­сти твердого тела, т. е.

S13 +s12 +s23 cosq=0,

cosq=(s13 -s12)/s23. (67.1)

Из условия (67.1) вытекает, что крае­вой угол может быть острым или тупым в зависимости от значений s13 и s12. Если s13 >s12, то cosq>0 и угол q - острый (рис. 98), т.е. жидкость смачивает твер­дую поверхность. Если s13

Краевой угол удовлетворяет условию (67.1), если

|s13 -s12 |/s23 <1. (67.2)

Если условие (67.2) не выполняется, то капля жидкости 2 ни при каких значениях 6 не может находиться в равновесии. Если s13 >s12 +s23, то жидкость растекается по поверхности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например, керосин на поверхности стекла),- имеет место пол­ное смачивание (в данном случае q=0). Если s12 >s13 +s23, то жидкость стягива­ется в шаровую каплю, в пределе имея с ней лишь одну точку соприкосновения (например, капля воды на поверхности парафина),- имеет место полное несма­чивание (в данном случае q=p).

Смачивание и несмачивание являются понятиями относительными, т. е. жид­кость, смачивающая одну твердую повер­хность, не смачивает другую. Например, вода смачивает стекло, но не смачивает парафин; ртуть не смачивает стекло, но смачивает чистые поверхности металлов.

Капиллярные явления

Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в ши­рокий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок ка­пилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Ес­ли жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости - ме­ниск - имеет вогнутую форму, если не смачивает - выпуклую (рис. 101).

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное дав­ление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской поверхностью жидко­сти в широком сосуде избыточного давле­ния нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное из­быточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h , при которой давление столба жидкости (гидростатическое дав­ление) rgh уравновешивается избыточным давлением Dр, т. е.

где r - плотность жидкости, g - ускоре­ние свободного падения.

Если m- радиус капилляра, q - крае­вой угол, то из рис. 101 следует, что (2scosq)/r=r gh , откуда

h=(2scosq)/(rgr). (69.1)

В соответствии с тем, что смачиваю­щая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая - опускается, из фор-

мулы (69.1) при q

0) полу­чим положительные значения Л, а при 0>p/2 (cosq<0) -отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высо­та поднятия (опускания) жидкости в ка­пилляре обратно пропорциональна его ра­диусу. В тонких капиллярах жидкость под­нимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (6 = 0) вода (r=1000 кг/м3, s=0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h»3 м.

38. Циклические процессы. Теорема Карно

1. Рабочим телом (рабочим агентом) называется термодинамическая система, совершающая процесс и предназначенная для преобразования одной формы передачи энергии - теплоты или работы - в другую. Например, в тепловом двигателе рабочее тело, получая энергию в форме тепла, часть ее передает в форме работы.
2. Нагревателем (теплоотдатчиком) называется система, сообщающая рассматриваемой термодинамической системе энергию в форме тепла.
Холодильником (теплоприемником) называется система, получающая от рассматриваемой термодинамической системы энергию в форме тепла.
3. Круговые процессы изображаются в термодинамических диаграммах в виде замкнутых кривых. Работа против внешнего давления, совершаемая системой в обратимом круговом процессе, измеряется площадью, ограниченной кривой этого процесса в диаграмме V - р.
Прямым циклом называется круговой процесс, в котором система совершает положительную работу: А > 0. В диаграмме V - p прямой цикл изображается в виде замкнутой кривой, проходимой рабочим телом по часовой стрелке.
Обратным, циклом называется круговой процесс, в котором работа, совершаемая системой, отрицательна А < 0. В диаграмме V - p обратный цикл изображается в виде замкнутой кривой, проходимой рабочим телом против часовой стрелки.
В тепловом двигателе рабочее тело совершает прямой цикл, а в холодильной машине - обратный цикл.
4. Термическим (термодинамическим) коэффициентом полезного действия (к. п. д.)  называется отношение теплового эквивалента А работы, совершенной рабочим телом в рассматриваемом прямом круговом процессе, к сумме Q1 всех количеств тепла, сообщенных при этом рабочему телу нагревателями:

 = A/Q1 = (Q1 - Q2)/Q1

Где Q2 - абсолютная величина суммы количеств тепла, отданных рабочим телом холодильникам. Термический к. п. д. характеризует степень совершенства преобразования внутренней энергии в механическую, происходящего в тепловом двигателе, который работает по рассматриваемому циклу.
5. Циклом Карно называется прямой круговой процесс (рис. 1), состоящий из двух изотермических процессов 1 - 1" и 2 - 2" и двух адиабатических процессов 1" - 2 и 2" - 1. В процессе 1 - 1" рабочее тело получает от нагревателя количество тепла Q1 а в процессе 2 - 2" рабочее тело отдает холодильнику количество тепла Q2 .

Рис.1. Цикл Карно

Теорема Карно: термический к. и. д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и является функцией только абсолютных температур нагревателя (T1) и холодильника (T2):

 = (T1 - T2)/T1

40. Третий закон термодинамики

Значение аддитивной константы, возникающей при определении энтропии, устанавливается теоремой Нернста, которую часто называют третьим законом термодинамики: энтропия любой системы при абсолютном нуле температуры всегда может быть принята равной нулю.

Физический смысл теоремы состоит в том, что при T = 0 все возможные состояния системы имеют одинаковую энтропию. Поэтому состояние системы при T = 0 удобно взять в качестве начального состояния О и положить энтропию этого состояния равной нулю. Тогда энтропию произвольного состояния A можно определить интегралом (63)где интегрирование производится вдоль обратимого процесса, начинающегося от состояния при T = 0 и заканчивающегося состоянием A .

В термодинамике теорема Нернста принимается как постулат. Доказывается она методами квантовой статистики.

Из теоремы Нернста следует важный вывод о поведении теплоемкости тел при T → 0. Рассмотрим нагревание твердого тела. При изменении его температуры T на dT тело поглощает количество теплоты δ Q = C (T ) dT ,(64)где C (T ) - его теплоемкость. Поэтому согласно определению (63) энтропию тела при температуре T можно представить в форме

Из этой формулы видно, что если бы теплоемкость тела при абсолютном нуле, C (0), отличалась от нуля, то интеграл (65) расходился бы на нижнем пределе. Поэтому при T = 0 теплоемкость должна равняться нулю: C (0) = 0 (66).Этот вывод находится в согласии с экспериментальными данными по теплоемкости тел при T → 0. Следет отметить, что (66) относится не только к твердым телам, но и к газам. Сделанное ранее утверждение о том, что теплоемкость идеального газа не зависит от температуры, справедливо только для не слишком низких температур. При этом нужно иметь в виду два обстоятельства. 1. При низких температурах свойства любого газа сильно отличаются от свойств идеального газа, т.е. вблизи абсолютного нуля ни одно вещество не является идеальным газом. 2. Если бы даже идеальный газ мог существовать вблизи нуля температуры, то строгое вычисление его теплоемкости методами квантовой статистики показывает, что она стремилась бы к нулю при T → 0.

15. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсче­та, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы дина­мики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода - так называемые си­лы инерции.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для лю­бой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции F ин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F , обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а ", каким оно обладает в неи­нерциальных системах отсчета, т. е.

mа " = F +F ин. (27.1)

Так как F =ma (a - ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

ma " = ma +F ин.

Силы инерции обусловлены ускорен­ным движением системы отсчета относи­тельно измеряемой системы, поэтому в об­щем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инер­ции при ускоренном поступательном дви­жении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вра­щающейся системе отсчета; 3) силы инер­ции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступа­тельном движении системы отсчета. Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т (рис. 40). Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити Т. Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а 0, то нить начнет откло­няться от вертикали назад до такого угла а, пока результирующая сила F =P +T не обеспе­чит ускорение шарика, равное а0. Таким обра­зом, результирующая сила F направлена в сто­рону ускорения тележки а 0и для установивше­гося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением а 0) равна

F = mg tga=ma0,

откуда угол отклонения нити от вертикали tga=a0/g,

т. е. тем больше, чем больше ускорение тележки. Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик по­коится, что возможно, если сила F уравновеши­вается равной и противоположно направленной ей силой F и, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие дру­гие силы не действуют. Таким образом,

F и =-ma 0. (27.2)

Проявление сил инерции при поступатель­ном движении наблюдается в повседневных яв­лениях. Например, когда поезд набирает ско­рость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторо­ну и пассажир отделяется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном тор­можении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью w(w=const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установ­лены маятники (на нитях подвешены шарики массой m ). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.41).

В инерциальной системе отсчета, связан­ной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окруж­ности радиусом R (расстояние от точки крепле­ния маятника к диску до оси вращения). Следо­вательно, на него действует сила, равная F = mw2R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействую­щей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т: F = P + T , Когда движение шарика установит-

ся, то F=mgtgalfa=mw2 R, откуда tgalfa = w 2 R / g ,

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние К от шари­ка до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения w.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается рав­ной и противоположно направленной ей силой F и, которая является ничем иным, как силой инерции, гак как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F ц, называемая центробеж­ной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

Fц =-mw2 R. (27.3)

Действию центробежных сил инерции под­вергаются, например, пассажиры в движущем­ся транспорте на поворотах, летчики при выпол­нении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробеж­ных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) при­нимаются специальные меры для уравновеши­вания центробежных сил инерции.

Из формулы (27.3) вытекает, что центро­бежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения и системы отсчета и радиу­са R, но не зависит от скорости тел относитель­но вращающихся систем отсчета. Следователь­но, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное рассто­яние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью v " вдоль радиуса равномерно враща­ющегося диска (v’ = const, w=const, v"┴w). Если диск не вращается, то шарик, направлен­ный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указан­ном стрелкой, то шарик катится по кривой 0В (рис. 42, а), причем его скорость v " относитель­но диска изменяет свое направление. Это воз­можно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v ".

Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, исполь­зуем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без тре­ния равномерно и прямолинейно со скоростью v" (рис. 42, б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относи­тельно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравнове­шивается приложенной к шарику силой инер­ции F K, перпендикулярной скорости v". Эта си­ла называется кориолисовой силой инерции. Можно показать, что сила Кориолиса

Вектор f k перпендикулярен векторам скорости v" тела и угловой скорости вращения w системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся систе­мы отсчета, например относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд на­блюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 43), то действующая на него сила Корио­лиса, как это следует из выражения (27.4), будет направлена вправо по отношению к на­правлению движения, т. е. тело несколько от­клонится на восток. Если тело движется на юг. то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в север­ном полушарии наблюдается более сильное под­мывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнаши-

ваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к на­правлению движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно состав­лять 1 см при падении с высоты 100 м). С си­лой Кориолиса связано поведение маятника Фу­ко, явившееся в свое время одним из доказа­тельств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального на­правления.

(27.1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

mа "=F +F и +F ц +F K, где силы инерции задаются формулами

(27.2) - (27.4).

35 Основные изопроцесыв идеальном газе Изотермический процесс Закон Бойля – Мариотта справедлив для любых газов, а так же и ихсмесей, например для воздуха. Лишь при давлениях, в несколько сотен разбольше атмосферного, отклонение от этого закона становится существенным. Зависимость давления газа от объёма при постоянной температуреграфически изображается кривой, которая называется изотермой. Изотермагаза изображает обратно пропорциональную зависимость между давлением иобъёмом. Кривую такого рода в математике называют гиперболой.Изобарный процесс Этот закон был установлен экспериментально в 1802 году французскимучёным Ж. Гей-Люссаком (1778 – 1850) и носит название закона Гей-Люссака.Согласно уравнению объём газа линейно зависит от температуры при постоянномдавлении: V=const T. Эта зависимость графически изображается прямой, которая называетсяизобарой. Различным давлениям соответствуют разные изобары. С ростом давленияобъём газа при постоянной температуре согласно закону Бойля-Мариоттауменьшается. Поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению p2, лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению p1. В области низких температур все изобары идеального газа сходятся вточке T=0. Но это не означает, что объём реального газа действительнообращается в нуль. Все газы при сильном охлаждении превращаются в жидкость, а к жидкостям уравнения состояния неприменимо. Изобарным можно считать расширение газа при нагревании его в цилиндрес подвижным поршнем. Постоянство давления в цилиндре обеспечиваетсяатмосферным давлением на внешнюю поверхность поршня. Изохорный процессЭтот газовый закон был установлен в 1787 году французским физиком Ж.Шарлем (1746 – 1823) и носит название закона Шарля. Согласно уравнению =const при V=const давления газа линейно зависит от температуры припостоянном объёме: p=const T. Эта зависимость изображается прямой, называемой изохоройРазным объёмам соответствуют разные изохоры. С ростом объёма газа припостоянной температуре давление его согласно закону Бойля-Мариотта падает.Поэтому изохора, соответствующая большему объёму V2, лежит ниже изохоры, соответствующей меньшему объёму V1. В соответствии с уравнением все изохоры начинаются в точке T=0.Значит, давление идеального газа при абсолютном нуле равно нулю. Увеличение давления газа в любой ёмкости или в электрической лампочкепри нагревании является изохорным процессом. Изохорный процесс используетсяв газовых термостатах постоянного объёма.

Изопроцессом называют процесс, происходящий с данной массой газа при одном постоянном параметре - температуре, давлении или объеме. Из уравнения состояния как частные случаи получаются законы для изопроцессов.
Изотермическим называют процесс, протекающий при постоянной температуре. Т = const. Он описывается законом Бойля-Мариотта: pV = const.
Изохорным называют процесс, протекающий при постоянном объеме. Для него справедлив закон Шарля: V = const, p/T = const.
Изобарным называют процесс, протекающий при постоянном давлении. Уравнение этого процесса имеет вид V/T = const прир = const и называется законом Гей-Люссака. Все процессы можно изобразить графически (рис. 15).
Реальные газы удовлетворяют уравнению состояния идеального газа при не слишком высоких давлениях (пока собственный объем молекул пренебрежительно мал по сравнению с объемом сосуда,

В котором находится газ) и при не слишком низких температурах (пока потенциальной энергией межмолекулярного взаимодействия можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией теплового движения молекул), т. е. для реального газа это уравнение и его следствия являются хорошим приближением.

41.ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ, ф-ции параметров состояния макроскопич. системы (т-ры Т, давления р, объема V, энтропии S , чисел молей компонентов ni, хим. потенциалов компонентов m, и др.), применяемые главным образом для описания термодинамического равновесия. Каждому термодинамические потенциалы соответствует набор параметров состояния. наз. естественными переменными. Важнейшие термодинамические потенциалы : внутренняя энергия U (естественные переменные S, V, ni ); энтальпия Н= U - (- pV ) (естественные переменные S, p , ni ); энергия Гельмгольца (свободная энергия Гельмгольца, ф-ция Гельмгольца) F = = U - TS (естественные переменные V, Т, ni ); энергия Гиббса (своб. энергия Гиббса, ф-ция Гиббса) G=U - - TS - (- pV ) (естественные переменные p, Т, ni ); большой термодинамич. потенциал(естественные переменные V, Т, mi ). термодинамические потенциалы могут быть представлены общей ф-лой

где Lk - интенсивные параметры. не зависящие от массы системы (таковы Т, p, mi ), Xk - экстенсивные параметры, пропорциональные массе системы (V, S , ni ). Индекс l = 0 для внутренней энергии U, 1-для H и F, 2-для G и W. термодинамические потенциалы являются ф-циями состояния термодинамической системы, т.е. их изменение в любом процессе перехода между двумя состояниями определяется лишь начальным и конечным состояниями и не зависит от пути перехода. Полные дифференциалы термодинамические потенциалы имеют вид:

Ур-ние (2) наз. фундаментальным ур-нием Гиббса в энергетич. выражении. Все термодинамические потенциалы имеют размерность энергии. Условия равновесия термодинамич. системы формулируются как равенство нулю полных дифференциалов термодинамические потенциалы при постоянстве соответствующих естественных переменных:

Термодинамич. устойчивость системы выражается неравенствами:

Убыль термодинамические потенциалы в равновесном процессе при постоянстве естественных переменных равна максимальной полезной работе процесса А :

При этом работа А производится против любой обобщенной силы Lk , действующей на систему, кроме внеш. давления (см. Максимальная работа реакции ). термодинамические потенциалы , взятые как ф-ции своих естественных переменных, являются характеристическими ф-циями системы. Это означает, что любое термодинамич. свойство (сжимаемость, теплоемкость и т. п.) м. б. выражено соотношением, включающим только данный термодинамические потенциалы , его естественные переменные и производные термодинамические потенциалы разных порядков по естественным переменным. В частности, с помощью термодинамические потенциалы можно получить уравнения состояния системы. Важными свойствами обладают производные термодинамические потенциалы Первые частные производные по естественным экстенсивным переменным равны интенсивным переменным, например:

[в общем виде: (9 Yl /9Хi )= Li ]. И наоборот, производные по естественным интенсивным переменным равны экстенсивным переменным, например:

[в общем виде: (9 Yl /9Li )= Xi ]. Вторые частные производные по естественным переменным определяют мех. и термич. свойства системы, например:

Т.к. дифференциалы термодинамические потенциалы являются полными, перекрестные вторые частные производные термодинамические потенциалы равны, например для G (T , p, ni ):

Соотношения этого типа называются соотношениями Максвелла. термодинамические потенциалы можно представить и как ф-ции переменных, отличных от естественных, например G (T , V, ni ), однако в этом случае свойства термодинамические потенциалы как характеристич. ф-ции будут потеряны. Помимо термодинамические потенциалы характеристич. ф-циями являются энтропия S (естественные переменные U, V, ni ), ф-ция Массье Ф1 = (естественные переменные 1/Т , V ,ni ), ф-ция Планка (естественные переменные 1/Т , p/Т , ni ). термодинамические потенциалы связаны между собой ур-ниями Гиббса-Гельмгольца. Напр., для H и G

В общем виде:

термодинамические потенциалы являются однородными ф-циями первой степени своих естественных экстенсивных переменных. Напр., с ростом энтропии S или числа молей ni пропорционально увеличивается и энтальпия Н. Согласно теореме Эйлера, однородность термодинамические потенциалы приводит к соотношениям типа:

№5 Виды сил в механике Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость.

Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называют силами гравитации, или силами всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения проявляется в Космосе, Солнечной системе и на Земле. Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил,

Что сила F равна:

Массы взаимодействующих тел, R - расстояние между ними, G - коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной. Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу взаимодействия между свинцовыми шарами. В результате закон всемирного тяготения звучит так: между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки.
Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называют силой тяжести. Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свободного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона g = Ft*m следовательно, Ft = mg. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зависимости от высоты h над поверхностью Земли и географической широты положения тела ускорение свободного падения приобретает различные значения. На поверхности Земли и в средних широтах ускорение свободного падения равно 9,831 м/с2.
В технике и быту широко используется понятие веса тела. Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или подвес в результате гравитационного притяжения к планете (рис. 6). Вес тела обозначается Р. Единица веса - Н. Так как вес равен силе, с которой тело действует на опору, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры. Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо определить, чему равна сила реакции опоры.

Силы упругостиПри деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации. Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая Силы трения. Рассматривая до сих пор силы, мы не интересовались их происхождением. Однако в механических процессах действуют различные силы: трения, упругости, тяготения. Рассмотрим силы трения. Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. С механической точки зрения, это можно объяснить существованием некоторой силы, которая препятствует движению. Это сила трения – сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению данного тела и приложенная по касательной к соприкасающимся поверхностям. Сила трения покоя. Она определяется проекцией равнодействующей силы на направление соприкасающихся поверхностей. Увеличивается пропорционально этой силе до тех пор, пока не начнется движение. График зависимости силы трения от проекции равнодействующей силы выглядит следующим образом. Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою.

В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки ~ 0,1 мкм и меньше). Рассмотрим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей, в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рисунок), к которому приложена горизонтальная сила. Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила будет больше силы трения.Французские физики Г. Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили следующий закон: сила Fтр трения скольжения пропорциональна силе N нормального давления:

Fтр = f N, где f – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Довольно радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т.д.). Коэффициент трения качения в десятки раз меньше коэффициента трения скольжения. Сила трения качения определяется по закону Кулона:

Радиус катящегося тела, fк – коэффициент трения качения, имеющий размерность = L. Из этой формулы следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Постулаты специальной теории относительности.
Преобразования Лоренца Специальная теория относительности представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. В СТО, как и в классической механике, предполагается, что время однородно (инвариантность физических законов относительно выбора начала отсчета времени), а пространство однородно и изотропно (симметрично). Специальная теория относительности называется также релятивистской теорией, а явления, описываемые этой теорией – релятивистскими эффектами.
В основу СТО легло положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, а скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения.
Это положение формулируется в виде двух постулатов А. Эйнштейна: принципа относительности и принципа постоянства скорости света.
Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы и утверждает, что законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета: любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние покоя или движения определяется здесь относительно произвольно выбранной инерциальной системы отсчета; физически эти состояния равноправны.
Второй постулат утверждает: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на базе сформулированных им постулатов, показал, что преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам СТО.
Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами x, y, z) и К΄ (с координатами x΄, y΄, z΄), движущуюся относительно К вдоль оси х со скоростью =const. Пусть в начальный момент времени (t = t΄ = 0), когда начала систем координат совпадают (0 = 0΄), излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А, пройдя расстояние

то в системе К΄ координата светового импульса в момент достижения точки А будет равна

где t΄ - время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К΄. Вычитая (5.6) из (5.7), получим:

Так как (система К΄ перемещается относительно К), то получается, что, т.е. отсчет времени в системах К΄ и К различен или имеет относительный характер (в классической механике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково, т.е. t = t΄).
А. Эйнштейн показал, что в СТО классические преобразования Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой заменяются преобразованиями Лоренца (1904 г.), удовлетворяющими первому и второму постулатам

Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) они переходят в преобразования Галилея. При v>c выражения для x, t, x΄ и t΄ теряют физический смысл, т.е. движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Кроме того, из табл. 5.1 следует, что как пространственные, так и временные преобразования Лоренца не являются независимыми: в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, релятивистская теория Эйнштейна оперирует не трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время .

34 Теплоёмкость тела (обозначается C) - физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты ΔQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры ΔT:

Единица измерения теплоёмкости в системе СИ - Дж/К. Удельная теплоёмкость вещества - теплоёмкость единицы массы данного вещества. Единицы измерения - Дж/(кг К). Молярная теплоёмкость вещества - теплоёмкость 1 моля данного вещества. Единицы измерения - Дж/(моль К). Если же говорить про теплоёмкость произвольной системы, то ее уместно формулировать в терминах термодинамических потенциалов - теплоёмкость есть отношение малого приращения количества теплоты Q к малому изменению температуры T:

Понятие теплоёмкости определено как для веществ в различных агрегатных состояниях (твёрдых тел, жидкостей, газов), так и для ансамблей частиц и квазичастиц (в физике металлов, например, говорят о теплоёмкости электронного газа). Если речь идёт не о каком-либо теле, а о некотором веществе как таковом, то различают удельную теплоёмкость - теплоёмкость единицы массы этого вещества и молярную - теплоёмкость одного моля его. Для примера, в молекулярно-кинетической теории газов показывается, что молярная теплоёмкость идеального газа с i степенями свободы при постоянном объеме равна:

R = 8.31 Дж/(моль К) - универсальная газовая постоянная. А при постоянном давлении Удельные теплоёмкости многих веществ приведены в справочниках обычно для процесса при постоянном давлении. К примеру, удельная теплоемкость жидкой воды при нормальных условиях - 4200 Дж/(кг К). Льда - 2100 Дж/(кг К) Существует несколько теорий теплоёмкости твердого тела: 1)Закон Дюлонга-Пти и закон Джоуля-Коппа. Оба закона выведены из классических представлений и с определенной точностью справедливы лишь для нормальных температур (примерно от 15°C до 100°C). 2)Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна. Первая весьма удачная попытка применения квантовых законов к описанию теплоемкости. 3)Квантовая теория теплоёмкостей Дебая. Содержит наиболее полное описание и хорошо согласуется с экспериментом. Теплоёмкость системы невзаимодействующих частиц (например, газа) определяется числом степеней свободы частиц.

№21 Принцип относительности Галилея Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся. Это и есть принцип относительности Галилея . Из преобразований Галилея и принципа относительности следует, что взаимодействия в классической физике должны передаваться с бесконечно большой скоростью c = ∞, т. к. в противном случае можно было бы одну инерциальную систему отсчета отличить от другой по характеру протекания в них физических процессов.
Дело в том, что принцип относительности Галилея позволяет различать абсолютное и относительное движения. Это возможно лишь в рамках определенного взаимодействия в системе состоящей из двух тел. Если в изолированную (квазиизолированную) систему двух тел, взаимодействующих между собою, не вмешиваются посторонние взаимодействия, либо присутствуют взаимодействия, которыми можно пренебречь, то их движения можно считать абсолютными по отношению к центру их тяжести. Такими системами можно считать Солнце - планеты (каждая в отдельности), Земля - Луна и др. И, более того, если центр тяжести взаимодействующих тел практически совпадает с центром тяжести одного из тел, то движение второго тела можно считать абсолютным по отношению к первому. Так, за начало абсолютной системы отсчета Солнечной системы можно принять центр тяжести Солнца и движения планет считать абсолютными. И тогда: Земля вращается вокруг Солнца, но не Солнце вокруг Земли (вспомните Дж. Бруно), камень падает на Землю, но не Земля на камень и т.д. Принцип относительности Галилея и законы Ньютона подтверждались ежечасно при рассмотрении любого движения, и господствовали в физике более 200 лет.
Но вот в 1865 г. появилась теория Дж. Максвелла, и уравнения Максвелла не подчинялись преобразованиям Галилея. Ее мало кто принял сразу, она не получила признания при жизни Максвелла. Но вскоре все сильно изменилось, когда в 1887 г., после открытия электромагнитных волн Герцем, были подтверждены все следствия, вытекающие из теории Максвелла, – ее признали. Появилось множество работ, развивающих теорию Максвелла.
Дело в том, что в теории Максвелла скорость света (скорость распространения электромагнитных волн) конечна и равна c = 299792458 м/с. (Исходя из принципа относительности Галилея скорость передачи сигнала бесконечна и зависит от системы отсчета z=z’). Первые догадки о конечности распространения скорости света были высказаны еще Галилеем. Астроном Рёмер в 1676 г. пытался найти скорость света. По его приближенным расчетам она была равна c= 214300000 м/с.
Нужна была экспериментальная проверка теории Максвелла. Он сам предложил идею опыта – использовать Землю в качестве движущейся системы. (Известно, что скорость движения Земли сравнительно высокая:).

В 80-х годах XIX века были выполнены опыты, которые доказали независимость скорости света от скорости источника или наблюдателя.
Необходимый для опыта прибор изобрел блестящий военно-морской офицер США А. Майкельсон (рис. 8.3).

Прибор состоял из интерферометра с двумя «плечами», расположенными перпендикулярно друг к другу. Вследствие сравнительно большой скорости движения Земли, свет должен был иметь различные скорости по вертикальному и горизонтальному направлениям. Поэтому время, затрачиваемое на прохождение вертикального пути источник S – полупрозрачное зеркало (ппз) – зеркало (з1) – (ппз) и горизонтального пути источник – (ппз) – зеркало (з2) – (ппз), должно быть различным. В результате, световые волны, пройдя указанные пути, должны были изменить интерференционную картину на экране.

Рис. 8.3

Майкельсон проводил эксперименты в течение семи лет с 1881 г. в Берлине и с 1887 г. в США совместно с химиком профессором Морли. Точность первых опытов была невелика: ±5 км/с. Однако, опыт дал отрицательный результат: сдвиг интерференционной картины обнаружить не удалось. Таким образом, результаты опытов Майкельсона–Морли показали, что величина скорости света постоянна и не зависит от движения источника и наблюдателя. Эти опыты повторяли и перепроверяли многократно. В конце 60-х годов Ч. Таунс довел точность измерения до ±1 м/с. Скорость света осталась неизменной c = 3·108 м/с. Независимость скорости света от движения источника и от направления недавно была продемонстрирована с рекордной точностью в экспериментах, выполненных исследователями из университетов г. Констанц и г. Дюссельдорф (современная версия эксперимента Майкельсона–Морли), в которых установлена лучшая на сегодняшний день точность 1.7·1015. Эта точность в 3 раза выше достигнутой ранее. Исследовалась стоячая электромагнитная волна в полости кристалла сапфира, охлажденного жидким гелием. Два таких резонатора были ориентированы под прямым углом друг к другу. Вся установка могла вращаться, что позволило установить независимость скорости света от направления. Было много попыток объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли. Наиболее известна гипотеза Лоренца о сокращении размеров тел в направлении движения. Он даже вычислил эти сокращения, использовав для этого преобразование координат, которые так и называются «сокращения Лоренца–Фитцджеральда». Дж. Лармор в 1889 г. доказал, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Очень близок был к созданию теории относительности Анри Пуанкаре. Но Альберт Эйнштейн был первым, кто четко и ясно сформулировал основные идеи теории относительности.

27,28,29 Идеальный газ, средняя энергия молекул, давление газа на стенку Идеальный газ - математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми - Дирака или Бозе - Эйнштейна). Классический идеальный газ Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения: 1)объём частицы газа равен нулю (то есть диаметр молекулы d пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними,) ; 2)импульс передается только при соударениях (то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях); 3)суммарная энергия частиц газа постоянна (то есть нет передачи энергии за счет передачи тепла или излучением) В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно сумме импульсов в единицу времени, переданной при столкновении частиц со стенкой, энергия - сумме энергий частиц газа. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева - Клапейрона

где p - давление,n - концентрация частиц, k - постоянная Больцмана,T - абсолютная температура. Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям описывается распределением Больцмана:

где - среднее число частиц, находящихся в j-ом состоянии с энергией, а константа a определяется условием нормировки:

Где N - полное число частиц. Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера:

где R - универсальная газовая постоянная,Cp - молярная теплоемкость при постоянном давлении, Cv - молярная теплоемкость при постоянном объёме. Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Клапейрона - Менделеева ) - формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

где p- давление, Vm- молярный объём, T-абсолютная температура, R-универсальная газовая постоянная. Так как, где - количество вещества, а, где m-масса, - молярная масса, уравнение состояния можно записать:

Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева - Клапейрона. В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

p*V/T=vR,p*V/T=const

Последнее уравнение называют объединённым газовым законом . Из него получаются законы Бойля - Мариотта, Шарля и Гей-Люссака: T=const=>P*V=const-закон Бойля - Мариотта .

P=const=>V/T=const-закон Гей - Люссака .

V=const=>P/T=const- закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.)

С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: Объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как простые целые числа.

В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме

где - показатель адиабаты, - внутренняя энергия единицы массы вещества. С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объем газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях. более существенным является второе обстоятельство и произведение немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение P*V увеличивается.

– средняя кинетическая энергия молекул газа (в расчете на одну молекулу). при тепловом равновесии средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул всех газов одинакова. Давление прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул:
При тепловом равновесии, если давление газа данной массы и его объем фиксированы, средняя кинетическая энергия молекул газа должна иметь строго определенное значение, как и температура. Величина
растет с повышением температуры и ни от чего, кроме температуры не зависит. Следовательно, ее можно считать естественной мерой температуры. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна:

T - температура по шкале Кельвина, k - постоянная Больцмана, k =1,4*10-23 Дж/К. Величина, пропорциональная средней кинети­ческой энергии поступательного движения частиц, называется температурой тела :

Где k =1,38*10-23 Дж/К - постоянная Больцмана. Температура – мера средней кинетической энергии молекул. Отсюда видно, что.Определяемую таким образом температуру на­зывают термодинамической или абсолютной, она измеряется в Кельвинах (К).

33 Первый закон термодинамики На рис. 3.9.1 условно изображены энергетические потоки между выделенной термодинамической системой и окружающими телами. Величина Q > 0, если тепловой поток направлен в сторону термодинамической системы. Величина A > 0, если система совершает положительную работу над окружающими телами.

Рисунок 3.9.1.

Обмен энергией между термодинамической системой и окружающими телами в результате теплообмена и совершаемой работы.

Если система обменивается теплом с окружающими телами и совершает работу (положительную или отрицательную), то изменяется состояние системы, то есть изменяются ее макроскопические параметры (температура, давление, объем). Так как внутренняя энергия U однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние системы, то отсюда следует, что процессы теплообмена и совершения работы сопровождаются изменением ΔU внутренней энергии системы.

Первый закон термодинамики является обобщением закона сохранения и превращения энергии для термодинамической системы. Он формулируется следующим образом:

Изменение ΔU внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты Q, переданной системе, и работой A, совершенной системой над внешними телами. ΔU = Q – A.

Соотношение, выражающее первый закон термодинамики, часто записывают в другой форме: Q = ΔU + A.

Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение работы над внешними телами.

Первый закон термодинамики является обобщением опытных фактов. Согласно этому закону, энергия не может быть создана или уничтожена; она передается от одной системы к другой и превращается из одной формы в другую. Важным следствием первого закона термодинамики является утверждение о невозможности создания машины, способной совершать полезную работу без потребления энергии извне и без каких-либо изменений внутри самой машины. Такая гипотетическая машина получила название вечного двигателя (perpetuum mobile ) первого рода . Многочисленные попытки создать такую машину неизменно заканчивались провалом. Любая машина может совершать положительную работу A над внешними телами только за счет получения некоторого количества теплоты Q от окружающих тел или уменьшения ΔU своей внутренней энергии.

Применим первый закон термодинамики к изопроцессам в газах. В изохорном процессе (V = const) газ работы не совершает, A = 0. Следовательно, Q = ΔU = U(T2) – U(T1). Здесь U(T1) и U(T2) – внутренние энергии газа в начальном и конечном состояниях. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (закон Джоуля). При изохорном нагревании тепло поглощается газом (Q > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (Q < 0). В изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается соотношением A = p(V2 – V1) = pΔV. Первый закон термодинамики для изобарного процесса дает: Q = U(T2) – U(T1) + p(V2 – V1) = ΔU + pΔV. При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T2 < T1; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0. В изотермическом процессе температура газа не изменяется, следовательно, не изменяется и внутренняя энергия газа, ΔU = 0. Первый закон термодинамики для изотермического процесса выражается соотношением Q = A. Количество теплоты Q, полученной газом в процессе изотермического расширения, превращается в работу над внешними телами. При изотермическом сжатии работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, которое передается окружающим телам. Наряду с изохорным, изобарным и изотермическим процессами в термодинамике часто рассматриваются процессы, протекающие в отсутствие теплообмена с окружающими телами. Сосуды с теплонепроницаемыми стенками называются адиабатическими оболочками , а процессы расширения или сжатия газа в таких сосудах называются адиабатическими . В адиабатическом процессе Q = 0; поэтому первый закон термодинамики принимает вид A = –ΔU, то есть газ совершает работу за счет убыли его внутренней энергии. В термодинамике выводится уравнение адиабатического процесса для идеального газа. В координатах (p, V) это уравнение имеет вид pVγ = const. Это соотношение называют уравнением Пуассона . 37 энтропия Энтропи́я (от греч. εντροπία - поворот, превращение ) - понятие, впервые возникшее в термодинамике как мера необратимого рассеяния энергии; широко применяется в других областях: в статистической механике - как мера вероятности осуществления состояния системы; в теории информации - как мера неопределённости сообщений; в теории вероятностей - как мера неопределённости опыта, испытания с различными исходами; её альтернативные трактовки имеют глубокую внутреннюю связь: например из вероятностных представлений об информации можно вывести все важнейшие положения статистической механики.В термодинамике В термодинамике понятие энтропии было введено немецким физиком Р.Клаузисом (1865), когда он показал, что процесс превращения теплоты в работу подчиняется закономерности - второму началу термодинамики, которое формулируется строго математически, если ввести функцию состояния системы - энтропию . Клаузис также показал важность понятия энтропии для анализа необратимых (неравновесных) процессов, если отклонения от термодинамики равновесия невелики и можно ввести представление о локальном термодинамическом равновесии в малых, но ещё макроскопических объёмах. В целом энтропия неравновесной системы равна сумме энтропий её частей, находящихся в локальном равновесии. В статистической механике Статистическая механика связывает энтропию с вероятностью осуществления макроскопического состояния системы знаменитым соотношением Больцмана «энтропия - вероятность» S = kB lnW , где W - термодинамическая вероятность осуществления данного состояния (число способв реализации состояния), а kB - постоянная Больцмана. В отличие от термодинамики статистическая механика рассматривает специальный класс процессов - флуктуации , при которых система переходит из более вероятных состояний в менее вероятные и вследствие этого её энтропия уменьшается. Наличие флуктуаций показывает, что закон возрастания энтропии выполняется только статистически: в среднем для большого промежутка времени. Адиабатический процесс также можно отнести к изопроцессам. В термодинамике важную роль играет физическая величина, которая называется энтропией (см. §3.12). Изменение энтропии в каком-либо квазистатическом процессе равно приведенному теплу ΔQ / T, полученному системой. Поскольку на любом участке адиабатического процесса ΔQ = 0, энтропия в этом процессе остается неизменной. Адиабатический процесс (так же, как и другие изопроцессы) является процессом квазистатическим. Все промежуточные состояния газа в этом процессе близки к состояниям термодинамического равновесия (см. §3.3). Любая точка на адиабате описывает равновесное состояние. Не всякий процесс, проведенный в адиабатической оболочке, то есть без теплообмена с окружающими телами, удовлетворяет этому условию. Примером неквазистатического процесса, в котором промежуточные состояния неравновесны, может служить расширение газа в пустоту. На рис. 3.9.3 изображена жесткая адиабатическая оболочка, состоящая из двух сообщающихся сосудов, разделенных вентилем K. В первоначальном состоянии газ заполняет один из сосудов, а в другом сосуде – вакуум. После открытия вентиля газ расширяется, заполняет оба сосуда, и устанавливается новое равновесное состояние. В этом процессе Q = 0, т.к. нет теплообмена с окружающими телами, и A = 0, т.к. оболочка недеформируема. Из первого закона термодинамики следует: ΔU = 0, то есть внутренняя энергия газа осталась неизменной. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, температуры газа в начальном и конечном состояниях одинаковы – точки на плоскости (p, V), изображающие эти состояния, лежат на одной изотерме . Все промежуточные состояния газа неравновесны, и их нельзя изобразить на диаграмме. Расширение газа в пустоту – пример необратимого процесса. Его нельзя провести в противоположном направлении.

HTML-версии работы пока нет.

Подобные документы

Предмет и задачи механики – раздела физики, изучающего простейшую форму движения материи. Механическое движение - изменение с течением времени положения тела в пространстве относительно других тел. Основные законы классической механики, открытые Ньютоном.

презентация , добавлен 08.04.2012


Теоретическая механика (статика, кинематика, динамика). Изложение основных законов механического движения и взаимодействия материальных тел. Условия их равновесия, общие геометрические характеристики движения и законы движения тел под действием сил.

курс лекций , добавлен 06.12.2010


Определение основных физических терминов: кинематика, механическое движение и его траектория, точка и система отсчета, путь, поступательное перемещение и материальная точка. Формулы, характеризующие равномерное и прямолинейное равноускоренное движение.

презентация , добавлен 20.01.2012


Аксиомы статики. Моменты системы сил относительно точки и оси. Трение сцепления и скольжения. Предмет кинематики. Способы задания движения точки. Нормальное и касательное ускорение. Поступательное и вращательное движение тела. Мгновенный центр скоростей.

шпаргалка , добавлен 02.12.2014


Обзор разделов классической механики. Кинематические уравнения движения материальной точки. Проекция вектора скорости на оси координат. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика твердого тела. Поступательное и вращательное движение твердого тела.

презентация , добавлен 13.02.2016


Относительность движения, его постулаты. Системы отсчета, их виды. Понятие и примеры материальной точки. Численное значение вектора (модуль). Скалярное произведение векторов. Траектория и путь. Мгновенная скорость, ее компоненты. Круговое движение.

презентация , добавлен 29.09.2013


Изучение основных задач динамики твердого тела: свободное движение и вращение вокруг оси и неподвижной точки. Уравнение Эйлера и порядок вычисления момента количества движения. Кинематика и условия совпадения динамических и статических реакций движения.

лекция , добавлен 30.07.2013


Механика, ее разделы и абстракции, применяемые при изучении движений. Кинематика, динамика поступательного движения. Механическая энергия. Основные понятия механики жидкости, уравнение неразрывности. Молекулярная физика. Законы и процессы термодинамики.

презентация , добавлен 24.09.2013


Вывод формулы для нормального и тангенциального ускорения при движении материальной точки и твердого тела. Кинематические и динамические характеристики вращательного движения. Закон сохранения импульса и момента импульса. Движение в центральном поле.

реферат , добавлен 30.10.2014


Что понимают под относительностью движения в физике. Понятие системы отсчёта как совокупности тела отсчёта, системы координат и системы отсчёта времени, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение. Система отсчета движения небесных тел.

Механика

[от греч. mechanike (téchne) - наука о машинах, искусство построения машин], наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частиц в пространстве. Примерами таких движений, изучаемых методами М., являются: в природе - движения небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, тепловое движение молекул и т. п., а в технике - движения различный летательных аппаратов и транспортных средств, частей всевозможных двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и многие др.

Рассматриваемые в М. взаимодействия представляют собой те действия тел друг на друга, результатом которых являются изменения механического движения этих тел. Их примерами могут быть притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела и др. Обычно под М. понимают т. н. классическую М., в основе которой лежат Ньютона законы механики и предметом которой является изучение движения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемого со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Движение тел со скоростями порядка скорости света рассматривается в относительности теории (См. Относительности теория), а внутриатомные явления и движение элементарных частиц изучаются в квантовой механике (См. Квантовая механика).

При изучении движения материальных тел в М. вводят ряд абстрактных понятий, отражающих те или иные свойства реальных тел; таковы: 1) Материальная точка - объект пренебрежимо малых размеров, имеющий массу; это понятие применимо, если в изучаемом движении можно пренебречь размерами тела по сравнению с расстояниями, проходимыми его точками. 2) Абсолютно твёрдое тело - тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остаётся неизменным; это понятие применимо, когда можно пренебречь деформацией тела. 3) Сплошная изменяемая среда; это понятие применимо, когда при изучении движения изменяемой среды (деформируемого тела, жидкости, газа) можно пренебречь молекулярной структурой среды.

При изучении сплошных сред прибегают к следующим абстракциям, отражающим при данных условиях наиболее существенные свойства соответствующих реальных тел: идеально упругое тело, пластичное тело, идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и др. В соответствии с этим М. разделяют на: М. материальной точки, М. системы материальных точек, М. абсолютно твёрдого тела и М. сплошной среды; последняя, в свою очередь, подразделяется на теорию упругости, теорию пластичности, гидромеханику, аэромеханику, газовую динамику и др. В каждом из этих разделов в соответствии с характером решаемых задач выделяют: статику - учение о равновесии тел под действием сил, кинематику - учение о геометрических свойствах движения тел и динамику - учение о движении тел под действием сил. В динамике рассматриваются 2 основные задачи: нахождение сил, под действием которых может происходить данное движение тела, и определение движения тела, когда известны действующие на него силы.

Для решения задач М. широко пользуются всевозможными математическими методами, многие из которых обязаны М. самим своим возникновением и развитием. Изучение основных законов и принципов, которым подчиняется механическое движение тел, и вытекающих из этих законов и принципов общих теорем и уравнений составляет содержание т. н. общей, или теоретической, М. Разделами М., имеющими важное самостоятельное значение, являются также теория колебаний (См. Колебания), теория устойчивости равновесия (См. Устойчивость равновесия) и устойчивости движения (См. Устойчивость движения), теория Гироскоп а, Механика тел переменной массы , теория автоматического регулирования (см. Автоматическое управление), теория Удар а. Важное место в М., особенно в М. сплошных сред, занимают экспериментальные исследования, проводимые с помощью разнообразных механических, оптических, электрических и др. физических методов и приборов.

М. тесно связана со многими др. разделами физики. Ряд понятий и методов М. при соответствующих обобщениях находит приложение в оптике, статистической физике, квантовой М., электродинамике, теории относительности и др. (см., например, Действие , Лагранжа функция , Лагранжа уравнения механики, Механики уравнения канонические , Наименьшего действия принцип). Кроме того, при решении ряда задач газовой динамики (См. Газовая динамика), теории Взрыв а, теплообмена в движущихся жидкостях и газах, аэродинамики разреженных газов (См. Аэродинамика разреженных газов), магнитной гидродинамики (См. Магнитная гидродинамика) и др. одновременно используются методы и уравнения как теоретической М., так и соответственно термодинамики, молекулярной физики, теории электричества и др. Важное значение М. имеет для многих разделов астрономии (См. Астрономия), особенно для небесной механики (См. Небесная механика).

Часть М., непосредственно связанную с техникой, составляют многочисленные общетехнические и специальные дисциплины, такие, как Гидравлика , Сопротивление материалов , кинематика механизмов, динамика машин и механизмов, теория гироскопических устройств (См. Гироскопические устройства), внешняя Баллистика , Динамика ракет , теория движения различных наземных, морских и воздушных транспортных средств, теория регулирования и управления движением различных объектов, строительная М., ряд разделов технологии и многое др. Все эти дисциплины пользуются уравнениями и методами теоретической М. Т. о., М. является одной из научных основ многих областей современной техники.

Основные понятия и методы механики. Основными кинематическими мерами движения в М. являются: для точки - её Скорость и Ускорение , а для твёрдого тела - скорость и ускорение поступательного движения и Угловая скорость и Угловое ускорение вращательного движения тела. Кинематическое состояние деформируемого твёрдого тела характеризуется относительными удлинениями и сдвигами его частиц; совокупность этих величин определяет т. н. тензор деформаций. Для жидкостей и газов кинематическое состояние характеризуется тензором скоростей деформаций; кроме того, при изучении поля скоростей движущейся жидкости пользуются понятием о вихре, характеризующем вращение частицы.

Основной мерой механического взаимодействия материальных тел в М. является Сила . Одновременно в М. широко пользуются понятием момента силы (См. Момент силы) относительно точки и относительно оси. В М. сплошной среды силы задаются их поверхностным или объёмным распределением, т. е. отношением величины силы к площади поверхности (для поверхностных сил) или к объёму (для массовых сил), на которые соответствующая сила действует. Возникающие в сплошной среде внутренние напряжения характеризуются в каждой точке среды касательными и нормальными напряжениями, совокупность которых представляет собой величину, называемую тензором напряжений (См. Напряжение). Среднее арифметическое трёх нормальных напряжений, взятое с обратным знаком, определяет величину, называемую Давление м в данной точке среды.

Помимо действующих сил, движение тела зависит от степени его инертности, т. е. от того, насколько быстро оно изменяет своё движение под действием приложенных сил. Для материальной точки мерой инертности является величина, называемая массой (См. Масса) точки. Инертность материального тела зависит не только от его общей массы, но и от распределения масс в теле, которое характеризуется положением центра масс и величинами, называемыми осевыми и центробежными моментами инерции (См. Момент инерции); совокупность этих величин определяет т. н. тензор инерции. Инертность жидкости или газа характеризуется их Плотность ю.

В основе М. лежат законы Ньютона. Первые два справедливы по отношению к т. н. инерциальной системе отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта). Второй закон даёт основные уравнения для решения задач динамики точки, а вместе с третьим - для решения задач динамики системы материальных точек. В М. сплошной среды, кроме законов Ньютона, используются ещё законы, отражающие свойства данной среды и устанавливающие для неё связь между тензором напряжений и тензорами деформаций или скоростей деформаций. Таков Гука закон для линейно-упругого тела и закон Ньютона для вязкой жидкости (см. Вязкость). О законах, которым подчиняются др. среды, см. Пластичности теория и Реология .

Важное значение для решения задач М. имеют понятия о динамических мерах движения, которыми являются Количество движения , Момент количества движения (или кинетический момент) и Кинетическая энергия , и о мерах действия силы, каковыми служат Импульс силы и Работа . Соотношение между мерами движения и мерами действия силы дают теоремы об изменении количества движения, момента количества движения и кинетической энергии, называемые общими теоремами динамики. Эти теоремы и вытекающие из них законы сохранения количества движения, момента количества движения и механической энергии выражают свойства движения любой системы материальных точек и сплошной среды.

Эффективные методы изучения равновесия и движения несвободной системы материальных точек, т. е. системы, на движение которой налагаются заданные наперёд ограничения, называемые связями механическими (См. Связи механические), дают Вариационные принципы механики , в частности Возможных перемещений принцип , Наименьшего действия принцип и др., а также Д"Аламбера принцип. При решении задач М. широко используются вытекающие из её законов или принципов дифференциальные уравнения движения материальной точки, твёрдого тела и системы материальных точек, в частности уравнения Лагранжа, канонические уравнения, уравнение Гамильтона - Якоби и др., а в М. сплошной среды - соответствующие уравнения равновесия или движения этой среды, уравнение неразрывности (сплошности) среды и уравнение энергии.

Исторический очерк. М. - одна из древнейших наук. Её возникновение и развитие неразрывно связаны с развитием производительных сил общества, нуждами практики. Раньше др. разделов М. под влиянием запросов главным образом строительной техники начинает развиваться статика. Можно полагать, что элементарные сведения о статике (свойства простейших машин) были известны за несколько тысяч лет до н. э., о чём косвенно свидетельствуют остатки древних вавилонских и египетских построек; но прямых доказательств этого не сохранилось. К первым дошедшим до нас трактатам по М., появившимся в Древней Греции, относятся натурфилософские сочинения Аристотеля (См. Аристотель) (4 в. до н. э.), который ввёл в науку сам термин « М. ». Из этих сочинений следует, что в то время были известны законы сложения и уравновешивания сил, приложенных в одной точке и действующих вдоль одной и той же прямой, свойства простейших машин и закон равновесия рычага. Научные основы статики разработал Архимед (3 в. до н. э.).

Его труды содержат строгую теорию рычага, понятие о статическом моменте, правило сложения параллельных сил, учение о равновесии подвешенных тел и о центре тяжести, начала гидростатики. Дальнейший существенный вклад в исследования по статике, приведший к установлению правила параллелограмма сил и развитию понятия о моменте силы, сделали И. Неморарий (около 13 в.), Леонардо да Винчи (15 в.), голландский учёный Стевин (16 в.) и особенно - французский учёный П. Вариньон (17 в.), завершивший эти исследования построением статики на основе правил сложения и разложения сил и доказанной им теоремы о моменте равнодействующей. Последним этапом в развитии геометрической статики явилась разработка французский учёным Л. Пуансо теории пар сил и построение статики на её основе (1804). Др. направление в статике, основывавшееся на принципе возможных перемещений, развивалось в тесной связи с учением о движении.

Проблема изучения движения также возникла в глубокой древности. Решения простейших кинематических задач о сложении движений содержатся уже в сочинениях Аристотеля и в астрономических теориях древних греков, особенно в теории эпициклов, завершенной Птолемеем (См. Птолемей) (2 в. н. э.). Однако динамическое учение Аристотеля, господствовавшее почти до 17 в., исходило из ошибочных представлений о том, что движущееся тело всегда находится под действием некоторой силы (для брошенного тела, например, это подталкивающая сила воздуха, стремящегося занять место, освобождаемое телом; возможность существования вакуума при этом отрицалась), что скорость падающего тела пропорциональна его весу, и т. п.

Периодом создания научных основ динамики, а с ней и всей М. явился 17 век. Уже в 15-16 вв. в странах Западной и Центральной Европы начинают развиваться буржуазные отношения, что привело к значительному развитию ремёсел, торгового мореплавания и военного дела (совершенствование огнестрельного оружия). Это поставило перед наукой ряд важных проблем: исследование полёта снарядов, удара тел, прочности больших кораблей, колебаний маятника (в связи с созданием часов) и др. Но найти их решение, требовавшее развития динамики, можно было только разрушив ошибочные положения продолжавшего господствовать учения Аристотеля. Первый важный шаг в этом направлении сделал Н. Коперник (16 в.), учение которого оказало огромное влияние на развитие всего естествознания и дало М. понятия об относительности движения и о необходимости при его изучении выбора системы отсчёта. Следующим шагом было открытие И. Кеплер ом опытным путём кинематических законов движения планет (начало 17 в.). Окончательно ошибочные положения аристотелевой динамики опроверг Г. Галилей , заложивший научные основы современной М. Он дал первое верное решение задачи о движении тела под действием силы, найдя экспериментально закон равноускоренного падения тел в вакууме. Галилей установил два основных положения М. - принцип относительности классической М. и закон инерции, который он, правда, высказал лишь для случая движения вдоль горизонтальной плоскости, но применял в своих исследованиях в полной общности. Он первый нашёл, что в вакууме траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола, применив при этом идею сложения движений: горизонтального (по инерции) и вертикального (ускоренного). Открыв изохронность малых колебаний маятника, он положил начало теории колебаний. Исследуя условия равновесия простых машин и решая некоторые задачи гидростатики, Галилей использует сформулированное им в общем виде т. н. золотое правило статики - начальную форму принципа возможных перемещений. Он же первый исследовал прочность балок, чем положил начало науке о сопротивлении материалов. Важная заслуга Галилея - планомерное введение в М. научного эксперимента.

Заслуга окончательной формулировки основных законов М. принадлежит И. Ньютон у (1687). Завершив исследования своих предшественников, Ньютон обобщил понятие силы и ввёл в М. понятие о массе. Сформулированный им основной (второй) закон М. позволил Ньютону успешно разрешить большое число задач, относящихся главным образом к небесной М., в основу которой был положен открытый им же закон всемирного тяготения. Он формулирует и 3-й из основных законов М. - закон равенства действия и противодействия, лежащий в основе М. системы материальных точек. Исследованиями Ньютона завершается создание основ классической М. К тому же периоду относится установление двух исходных положений М. сплошной среды. Ньютон, исследовавший сопротивление жидкости движущимися в ней телами, открыл основной закон внутреннего трения в жидкостях и газах, а английский учёный Р. Гук экспериментально установил закон, выражающий зависимость между напряжениями и деформациями в упругом теле.

В 18 в. интенсивно развивались общие аналитические методы решения задач М. материальной точки, системы точек и твёрдого тела, а также небесной М., основывавшиеся на использовании открытого Ньютоном и Г. В. Лейбниц ем исчисления бесконечно малых. Главная заслуга в применении этого исчисления для решения задач М. принадлежит Л. Эйлер у. Он разработал аналитические методы решения задач динамики материальной точки, развил теорию моментов инерции и заложил основы М. твёрдого тела. Ему принадлежат также первые исследования по теории корабля, теории устойчивости упругих стержней, теории турбин и решение ряда прикладных задач кинематики. Вкладом в развитие прикладной М. явилось установление французскими учёными Г. Амонтоном и Ш. Кулоном экспериментальных законов трения.

Важным этапом развития М. было создание динамики несвободных механических систем. Исходными для решения этой проблемы явились принцип возможных перемещений, выражающий общее условие равновесия механической системы, развитию и обобщению которого в 18 в. были посвящены исследования И. Бернулли , Л. Карно , Ж. Фурье , Ж. Л. Лагранж а и др., и принцип, высказанный в наиболее общей форме Ж. Д’Аламбером (См. Д"Аламбер) и носящий его имя. Используя эти два принципа, Лагранж завершил разработку аналитических методов решения задач динамики свободной и несвободной механической системы и получил уравнения движения системы в обобщённых координатах, названные его именем. Им же были разработаны основы современной теории колебаний. Др. направление в решении задач М. исходило из принципа наименьшего действия в том его виде, который для одной точки высказал П. Мопертюи и развил Эйлер, а на случай механической системы обобщил Лагранж. Небесная М. получила значительное развитие благодаря трудам Эйлера, Д’Аламбера, Лагранжа и особенно П. Лаплас а.

Приложение аналитических методов к М. сплошной среды привело к разработке теоретических основ гидродинамики идеальной жидкости. Основополагающими здесь явились труды Эйлера, а также Д. Бернулли , Лагранжа, Д’Аламбера. Важное значение для М. сплошной среды имел открытый М. В. Ломоносовым закон сохранения вещества.

В 19 в. продолжалось интенсивное развитие всех разделов М. В динамике твёрдого тела классические результаты Эйлера и Лагранжа, а затем С. В. Ковалевской, продолженные др. исследователями, послужили основой для теории гироскопа, которая приобрела особенно большое практическое значение в 20 в. Дальнейшему развитию принципов М. были посвящены основополагающие труды М. В. Остроградского (См. Остроградский), У. Гамильтон а, К. Якоби , Г. Герца и др.

В решении фундаментальной проблемы М. и всего естествознания - об устойчивости равновесия и движения, ряд важных результатов получили Лагранж, англ. учёный Э. Раус и Н. Е. Жуковский . Строгая постановка задачи об устойчивости движения и разработка наиболее общих методов её решения принадлежат А. М. Ляпунов у. В связи с запросами машинной техники продолжались исследования по теории колебаний и проблеме регулирования хода машин. Основы современной теории автоматического регулирования были разработаны И. А. Вышнеградским (См. Вышнеградский).

Параллельно с динамикой в 19 в. развивалась и кинематика, приобретавшая всё большее самостоятельное значение. Франц. учёный Г. Кориолис доказал теорему о составляющих ускорения, явившуюся основой М. относительного движения. Вместо терминов «ускоряющие силы» и т. п. появился чисто кинематический термин «ускорение» (Ж. Понселе , А. Резаль). Пуансо дал ряд наглядных геометрических интерпретаций движения твёрдого тела. Возросло значение прикладных исследований по кинематике механизмов, важный вклад в которые сделал П. Л. Чебышев . Во 2-й половине 19 в. кинематика выделилась в самостоятельный раздел М.

Значительное развитие в 19 в. получила и М. сплошной среды. Трудами Л. Навье и О. Коши были установлены общие уравнения теории упругости. Дальнейшие фундаментальные результаты в этой области получили Дж. Грин , С. Пуассон , А. Сен-Венан , М. В. Остроградский, Г. Ламе , У. Томсон , Г. Кирхгоф и др. Исследования Навье и Дж. Стокс а привели к установлению дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. Существенный вклад в дальнейшее развитие динамики идеальной и вязкой жидкости внесли Гельмгольц (учение о вихрях), Кирхгоф и Жуковский (отрывное обтекание тел), О. Рейнольдс (начало изучения турбулентных течений), Л. Прандтль (теория пограничного слоя) и др. Н. П. Петров создал гидродинамическкую теорию трения при смазке, развитую далее Рейнольдсом, Жуковским совместно с С. А. Чаплыгин ым и др. Сен-Венан предложил первую математическую теорию пластичного течения металла.

В 20 в. начинается развитие ряда новых разделов М. Задачи, выдвинутые электро- и радиотехникой, проблемами автоматического регулирования и др., вызвали появление новой области науки - теории нелинейных колебаний, основы которой были заложены трудами Ляпунова и А. Пуанкаре . Другим разделом М., на котором базируется теория реактивного движения, явилась динамика тел переменной массы; её основы были созданы ещё в конце 19 в. трудами И. В. Мещерского (См. Мещерский). Исходные исследования по теории движения ракет принадлежат К. Э. Циолковскому (См. Циолковский).

В М. сплошной среды появляются два важных новых раздела: аэродинамика, основы которой, как и всей авиационной науки, были созданы Жуковским, и газовая динамика, основы которой были заложены Чаплыгиным. Труды Жуковского и Чаплыгина имели огромное значение для развития всей современной гидроаэродинамики.

Современные проблемы механики. К числу важных проблем современной М. относятся уже отмечавшиеся задачи теории колебаний (особенно нелинейных), динамики твёрдого тела, теории устойчивости движения, а также М. тел переменной массы и динамики космических полётов. Во всех областях М. всё большее значение приобретают задачи, в которых вместо «детерминированных», т. е. заранее известных, величин (например, действующих сил или законов движения отдельных объектов) приходится рассматривать «вероятностные» величины, т. е. величины, для которых известна лишь вероятность того, что они могут иметь те или иные значения. В М. непрерывной среды весьма актуальна проблема изучения поведения макрочастиц при изменении их формы, что связано с разработкой более строгой теории турбулентных течений жидкостей, решением проблем пластичности и ползучести и созданием обоснованной теории прочности и разрушения твёрдых тел.

Большой круг вопросов М. связан также с изучением движения плазмы в магнитном поле (магнитная гидродинамика), т. е. с решением одной из самых актуальных проблем современной физики - осуществление управляемой термоядерной реакции. В гидродинамике ряд важнейших задач связан с проблемами больших скоростей в авиации, баллистике, турбостроении и двигателестроении. Много новых задач возникает на стыке М. с др. областями наук. К ним относятся проблемы гидротермохимии (т. е. исследования механических процессов в жидкостях и газах, вступающих в химические реакции), изучение сил, вызывающих деление клеток, механизма образования мускульной силы и др.

При решении многих задач М. широко используются электронно-вычислительные и аналоговые машины. В то же время разработка методов решения новых задач М. (особенно М. сплошной среды) с помощью этих машин - также весьма актуальная проблема.

Исследования в разных областях М. ведутся в университетах и в высших технических учебных заведениях страны, в институте проблем механики АН СССР, а также во многих других научно-исследовательских институтах как в СССР, так и за рубежом.

Для координации научных исследований по М. периодически проводятся международные конгрессы по теоретической и прикладной М. и конференции, посвященные отдельным областям М., организуемые Международным союзом по теоретической и прикладной М. (IUTAM), где СССР представлен Национальным комитетом СССР по теоретической и прикладной М. Этот же комитет совместно с др. научными учреждениями периодически организует всесоюзные съезды и конференции, посвященные исследованиям в различных областях М.

ГИМНАЗИЯ № 1534

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА

ПО ФИЗИКЕ

“ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ”

Выполнила: ученица 11 “А” класса

Сорокина А. А.

Проверила: Горкина Т. Б.

Москва 2003 г.

1. ВВЕДЕНИЕ
4. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ
Эпоха, предшествовавшая установлению основ механики
Период создания основ механики
Развитие методов механики в XVIII в.
Механика XIX и начала XX вв.
Механика в России и СССР
5. ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ МЕХАНИКИ
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
7. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
8. ПРИЛОЖЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ

Для каждого человека существуют два мира: внутренний и внешний; посредниками между этими двумя мирами являются органы чувств. Внешний мир имеет способность влиять на органы чувств, вызывать у них особого рода изменения, или, как принято говорить, возбуждать в них раздражения. Внутренний мир человека определяется совокупностью тех явлений, которые абсолютно не могут быть доступны непосредственному наблюдению другого человека.

Вызванное внешним миром раздражение в органе чувств передается миру внутреннему и со своей стороны вызывает в нем субъективное ощущение, для появления которого необходимо наличие сознания.

Воспринятое внутренним миром субъективное ощущение объективируется, т.е. переносится во внешнее пространство, как нечто, принадлежащее определенному месту и определенному времени. Иначе говоря, путем такого объективирования мы переносим во внешний мир наши ощущения, причем пространство и время служат тем фоном, на котором располагаются эти объективные ощущения. В тех местах пространства, где они помещаются, мы невольным образом предполагаем порождающую их причину.

Человеку присуща способность сравнивать между собой воспринимаемые ощущения, судить об их одинаковости или неодинаковости и, во втором случае, отличать неодинаковости качественные и количественные, причем количественная неодинаковость может относиться или к напряженности (интенсивности), или к протяженности (экстенсивность) или, наконец, к продолжительности раздражающей объективной причины.

Так как умозаключения, сопровождающие всякое объективирование, исключительно основаны на воспринятом ощущении, то полнейшая одинаковость этих ощущений непременно повлечет за собой и тождественность объективных причин, и эта тождественность помимо, и даже против нашей воли сохраняется и в тех случаях, когда другие органы чувств неоспоримо свидетельствуют нам о неодинаковости причин. Здесь кроется один из главных источников несомненно ошибочных умозаключений, приводящих к так называемым обманам зрения, слуха и т. п. Другой источник – отсутствие навыка при новых ощущениях.

Восприятие в пространстве и времени чувственных впечатлений, которые мы сравниваем между собой и которым мы придаем значение объективной реальности, существующей помимо нашего сознания, называется внешним явлением. Изменение цвета тел в зависимости от освещения, одинаковость уровня воды в сосудах, качание маятника – внешние явления.

Один из могучих рычагов, двигающих человечество по пути его развития – это любознательность, имеющая последней, недостижимой целью – познание сущности нашего бытия, истинного отношения нашего мира внутреннего к миру внешнему. Результатом любознательности явилось знакомство с весьма большим числом разнообразнейших явлений, которые составляют предмет целого ряда наук, между которыми физика занимает одно из первые мест, благодаря обширности обрабатываемого ею поля и тому значению, которое она имеет почти для всех других наук.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИКИ; ЕЕ МЕСТО СРЕДИ ДРУГИХ НАУК; ПОДРАЗДЕЛЕНИЯ МЕХАНИКИ

Механика (от греческого m h c a n i c h - мастерство, относящееся к машинам; наука о машинах) – наука о простейшей форме движении материи – механическом движении, представляющем изменение с течением времени пространственного расположения тел, и о связанных с движением тел взаимодействиях между ними. Механика исследует общие закономерности, связывающие механические движения и взаимодействия, принимая для самих взаимодействий законы, полученные опытным путем и обосновываемые в физике. Методы механики широко используются в различных областях естествознания и техники.

Механика изучает движения материальных тел, пользуясь следующими абстракциями:

1) Материальная точка, как тело пренебрежимо малых размеров, но конечной массы. Роль материальной точки может играть центр инерции системы материальных точек, в котором при этом считается сосредоточенной масса всей системы;

2) Абсолютно твердое тело, совокупность материальных точек, находящихся на неизменных расстояниях друг от друга. Эта абстракция применима, если можно пренебречь деформацией тела;

3) Сплошная среда. При этой абстракции допускается изменение взаимного расположения элементарных объемов. В противоположность твердому телу для задания движения сплошной среды требуется бесчисленное множество параметров. К сплошным средам относятся твердые, жидкие и газообразные тела, отражаемые в следующих отвлечённых представлениях: идеально упругое тело, пластичное тело, идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и другие. Указанные отвлечённые представления о материальном теле отражают действительные свойства реальных тел, существенные в данных условиях.

Соответственно этому механику разделяют на:

• механику материальной точки;
• механику системы материальных точек;
• механику абсолютно твердого тела;
• механику сплошной среды.

Последняя в свою очередь подразделяется на теорию упругости, гидромеханику, аэромеханику, газовую механику и другие (см. Приложение).

Термином “теоретическая механика” обычно обозначают часть механики, занимающуюся исследованием наиболее общих законов движения, формулировкой её общих положений и теорем, а также приложением методов механики к изучению движения материальной точки, системы конечного числа материальных точек и абсолютно твердого тела.

В каждом из этих разделов, прежде всего, выделяется статика, объединяющая вопросы, относящиеся к исследованию условий равновесия сил. Различают статику твердого тела и статику сплошной среды: статику упругого тела, гидростатику и аэростатику (см. Приложение). Движение тел в отвлечении от взаимодействия между ними изучает кинематика (см. Приложение). Существенная особенность кинематики сплошных сред заключается в необходимости определить для каждого момента времени распределение в пространстве перемещений и скоростей. Предметом динамики являются механические движения материальных тел в связи с их взаимодействиями.

Существенные применения механики относятся к области техники. Задачи, выдвигаемые техникой перед механикой, весьма разнообразны; это – вопросы движения машин и механизмов, механика транспортных средств на суше, на море и в воздухе, строительной механики, разнообразных отделов технологии и многие другие. В связи с необходимостью удовлетворения запросов техники из механики выделились специальные технические науки. Кинематика механизмов, динамика машин, теория гироскопов, внешняя баллистика (см. Приложение) представляют технические науки, использующие методы абсолютно твердого тела. Сопротивление материалов и гидравлика (см. Приложение), имеющие с теорией упругости и гидродинамикой общие основы, вырабатывают для практики методы расчёта, корректируемые экспериментальными данными. Все разделы механики развивались и продолжают развиваться в тесной связи с запросами практики, в ходе разрешения задач техники.

Механика как раздел физики развивался в тесной взаимосвязи с другими её разделами – с оптикой, термодинамикой и другими. Основы так называемой классической механики были обобщены в начале XX в. в связи с открытием физических полей и законов движения микрочастиц. Содержание механики быстродвижущихся частиц и систем (со скоростями порядка скорости света) изложены в теории относительности, а механика микродвижений – в квантовой механике.

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ МЕХАНИКИ

Законы классической механики справедливы по отношению к так называемым инерциальным, или галилеевым, системам отсчёта (см. Приложение). В пределах, в которых справедлива ньютонова механика, время можно рассматривать независимо от пространства. Промежутки времени практически одинаковы во всех системах отчета, каково бы ни было их взаимное движение, если относительная скорость их мала по сравнению со скоростью света.

Основными кинематическими мерами движения являются скорость, которая имеет векторный характер, так как определяет не только быстроту изменения пути со временем, но и направление движения, и ускорение – вектор, являющийся мерой измерения вектора скорости во времени. Мерами вращательного движения твердого тела служат векторы угловой скорости и углового ускорения. В статике упругого тела основное значение имеет вектор перемещения и соответствующий ему тензор деформации, включающий понятия относительных удлинений и сдвигов.

Основной мерой взаимодействия тел, характеризующей изменение во времени механического движения тела, является сила. Совокупности величины (интенсивности)

силы, выраженной в определенных единицах, направления силы (линии действия) и точки приложения определяют вполне однозначно силу как вектор.

В основе механики лежат следующие законы Ньютона. П е р в ы й з а к о н, или закон инерции, характеризует движение тел в условиях изолированности от других тел, либо при уравновешенности внешних воздействий. Закон этот гласит: всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не заставят его изменить это состояние. Первый закон может служить для определения инерциальных систем отсчета. В т о р о й з а к о н, устанавливающий количественную связь между приложенной к точке силой и вызываемым этой силой изменением количества движения, гласит: изменение движения происходит пропорционально приложенной силе и происходит в направлении линии действия этой силы. Согласно этому закону, ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе: данная сила F вызывает тем меньшее ускорение а тела, чем больше его инертность. Мерой инертности служит масса. По второму закону Ньютона сила пропорциональна произведению массы материальной точки на её ускорение; при надлежащем выборе единицы силы последняя может быть выражена произведением массы точки m на ускорение а :

Это векторное равенство представляет основное уравнение динамики материальной точки. Т р е т и й з а к о н Ньютона гласит: действию всегда соответствует равное ему и противоположно направленное противодействие, т. е. действие двух тел друг на друга всегда равны и направлены по одной прямой в противоположных направлениях. В то время как первые два закона Ньютона относятся к одной материальной точке, третий закон является основным для системы точек. Наряду с этими тремя основными законами динамики имеет место закон независимости действия сил, который формулируется так: если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение точки складывается из тех ускорений, которые точка имела бы под действием каждой силы в отдельности. Закон независимости действия сил приводит к правилу параллелограмма сил.

Кроме названных ранее понятий, в механике применяются и другие меры движения и действия. Важнейшими являются меры движения: векторная – количество движения p = mv, равное произведению массы на вектор скорости, и скалярная – кинетическая энергия E k = 1 / 2 mv 2 , равная половине произведения массы на квадрат скорости. В случае вращательного движения твердого тела инерционные свойства его задаются тензором инерции, определяющим в каждой точке тела моменты инерции и центробежные моменты относительно трех осей, проходящих через эту точку. Мерой вращательного движения твердого тела служит вектор момента количества движения, равный произведению момента инерции на угловую скорость. Мерами действия сил являются: векторная – элементарный импульс силы F dt (произведение силы на элемент времени её действия), и скалярная – элементарная работа F*dr (скалярное произведение векторов силы и элементарного перемещения точки положения); при вращательном движении мерой воздействия служит момент силы.

Основные меры движения в динамике сплошной среды представляют собой непрерывно распределенные величины и, соответственно, задаются своими функциями распределения. Так, плотность определяет распределение массы; силы задаются их поверхностным или объёмным распределением. Движение сплошной среды, вызываемое приложенными к ней внешними силами, приводит к возникновению в среде напряженного состояния, характеризуемого в каждой точке совокупностью нормальных и касательных напряжений, представляемой единой физической величиной – тензором напряжений. Среднее арифметическое трех нормальных напряжений в данной точке, взятое с обратным знаком, определяет давление (см. Приложение).

В основе изучения равновесия и движения сплошной среды лежат законы связи между тензором напряжения и тензором деформации или скоростей деформации. Таков закон Гука в статике линейно-упругого тела и закон Ньютона в динамике вязкой жидкости (см. Приложение). Эти законы – простейшие; установлены и другие соотношения, более точно характеризующие явления, происходящие в реальных телах. Существуют теории, учитывающие предшествующую историю движения и напряжения тела, теории ползучести, релаксации и другие (см. Приложение).

Соотношения между мерами движения материальной точки или системы материальных точек и мерами действия сил содержатся в общих теоремах динамики:

количеств движения, моментов количества движения и кинетической энергии. Эти теоремы выражают свойства движений как дискретной системы материальных точек, так и сплошной среды. При рассмотрении равновесия и движения несвободной системы материальных точек, т. е. системы, подчиненной заданным наперед ограничениям – механическим связям (см. Приложение), важное значение имеет применение общих принципов механики – принципа возможных перемещений и принципа Д’Аламбера. В применении к системе материальных точек принцип возможных перемещений состоит в следующем: для равновесия системы материальных точек со стационарными и идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на систему активных сил при всяком возможном перемещении системы была равна нулю (для связей неосвобождающих) или же была равна нулю или меньше нуля (для связей освобождающих). Принцип Д’Аламбера для свободной материальной точки гласит: в каждый момент времени силы, приложенные к точке, могут быть уравновешены добавлением к ним силы инерции.

При формулировке задач механика исходит из основных уравнений, выражающих найденные законы природы. Для решения этих уравнений применяют математические методы, причем многие из них зарождались и получали свое развитие именно в связи с проблемами механики. При постановке задачи всегда приходилось сосредотачивать внимание на тех сторонах явления, которые представляются основными. В случаях, когда необходимо учитывать и побочные факторы, а также в тех случаях, когда явление по своей сложности не поддается математическому анализу, широко применяется экспериментальное исследование. Экспериментальные методы механики базируются на развитой технике физического эксперимента. Для записи движений используются как оптические методы, так и методы электрической регистрации, основанные на предварительном преобразовании механического перемещения в электрический сигнал. Для измерения сил используются различные динамометры и весы, снабжаемые автоматическими приспособлениями и следящими системами. Для измерения механических колебаний широкое распространение получили разнообразные радиотехнические схемы. Особых успехов достиг эксперимент в механике сплошных сред. Для измерения напряжения используется оптический метод (см. Приложение), заключающийся в наблюдении нагружённой прозрачной модели в поляризованном свете. Для измерения деформации большое развитие в последние годы приобрело тензометрирование при помощи механических и оптических тензометров (см. Приложение), а также тензометров сопротивления. Для измерения скоростей и давлений в движущихся жидкостях и газах с успехом применяют термоэлектрические, ёмкостные, индукционные и другие методы.

4. ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ

История механики, так же как и других естественных наук, неразрывно связана с историей развития общества, с общей историей развития его производительных сил. Историю механики можно разделить на несколько периодов, отличающихся как характером проблем, так и методами их решения.

Эпоха, предшествовавшая установлению основ механики. Эпоху создания первых орудий производства и искусственных построек следует признать началом накопления того опыта, который в дальнейшем служил основой для открытия основных законов механики. В то время как геометрия и астрономия античного мира представляли уже довольно развитые научные системы, в области механики были известны лишь отдельные положения, относящиеся к наиболее простым случаям равновесия тел. Ранее всех разделов механики зародилась статика. Этот раздел развивался в тесной связи со строительным искусством античного мира.

Основное понятие статики – понятие силы – вначале тесно связывалось с мускульным усилием, вызванным давлением предмета на руку. Примерно к началу IV в. до н. э. уже были известны простейшие законы сложения и уравновешивания сил, приложенных к одной точке вдоль одной и той же прямой. Особый интерес привлекала задача о рычаге. Теория рычага была создана великим ученым древности Архимедом (III в. до н. э.) и изложена в сочинении “О рычагах”. Им были установлены правила сложения и разложения параллельных сил, дано определение понятия центра тяжести системы двух грузов, подвешенных к стержню, и выяснены условия равновесия такой системы. Архимеду же принадлежит открытие основных законов гидростатики. Свои

теоретические знания в области механики он применял к различным практическим вопросам строительства и военной техники. Понятие момента силы, играющее основную роль во всей современной механике, в скрытом виде уже имеется в законе Архимеда. Великий итальянский ученый Леонардо да Винчи (1452 – 1519) вводил представление о плече силы под видом “потенциального рычага”. Итальянский механик Гвидо Убальди (1545 – 1607) применяет понятие момента в своей теории блоков, где было введено понятие полиспаста. Полиспаст (греч. p o l u s p a s t o n , от p o l u - много и s p a w - тяну) – система подвижных и неподвижных блоков, огибаемых канатом, используются для получения выигрыша в силе и, реже, для получения выигрыша в скорости. Обычно к статике принято относить ещё учение о центре тяжести материального тела. Развитие этого чисто геометрического учения (геометрия масс) тесно связано с именем Архимеда, указавшего, при помощи знаменитого метода исчерпывания, положение центра тяжести многих правильных геометрических форм, плоских и пространственных. Общие теоремы о центрах тяжести тел вращения дали греческий математик Папп (III в. н. э.) и швейцарский математик П. Гюльден в XVII в. Развитием своих геометрических методов статика обязана французскому математику П. Вариньону (1687); наиболее полно эти методы были разработаны французским механиком Л. Пуансо, трактат которого “Элементы статики” вышел в 1804 г. Аналитическая статика, основанная на принципе возможных перемещений, была создана знаменитым французским ученым Ж. Лагранжем.

С развитием ремесел, торговли, мореплавания и военного дела и связанного с ними накопления новых знаний, в XIV и XV вв. – в эпоху Возрождения – начинается расцвет наук и искусств. Крупным событием, революционизировавшим человеческое мировоззрение, явилось создание великим польским астрономом Николаем Коперником (1473 – 1543) учения о гелиоцентрической системе мира, в которой шарообразная Земля занимает центральное неподвижное положение, а вокруг нее по своим круговым орбитам движутся небесные тела: Луна, Меркурий, Венера, Солнце, Марс, Юпитер, Сатурн.

Кинематические и динамические исследования эпохи Возрождения были обращены, главным образом, на уточнение представлений о неравномерном и криволинейном движении точки. До этого времени общепринятыми были не соответствующие действительности динамические воззрения Аристотеля, изложенные в его “Проблемах механики”. Так, он считал, что для поддержания равномерного и прямолинейного движения тела к нему нужно приложить постоянно действующую силу. Это утверждение представлялось ему согласным с повседневным опытом. О том, что при этом возникает сила трения, Аристотель, конечно, ничего не знал. Также он считал, что скорость свободного падения тел зависит от их веса: “Если половинный вес в некоторое время пройдет столько-то, то удвоенный вес пройдет столько же в половинное время”. Считая, что все состоит из четырех стихий – земли, воды, воздуха и огня, он пишет: “Тяжело все то, что способно нестись к середине или средоточию мира; легко все то, что несется от середины или средоточия мира”. Из этого он сделал вывод: так как тяжелые тела падают к центру Земли, то этот центр является средоточием мира, а Земля неподвижна. Не владея еще понятием об ускорении, которое было позднее введено Галилеем, исследователи этой эпохи рассматривали ускоренное движение как состоящее из отдельных равномерных движений, в каждом интервале обладающих своей собственной скоростью. Галилей еще в 18-летнем возрасте, наблюдая во время богослужения за малыми затухающими колебаниями люстры и отсчитывая время по ударам пульса, установил, что период колебания маятника не зависит от его размаха. Усомнившись в правильности утверждений Аристотеля, Галилей начал производить опыты, с помощью которых он, не анализирую причины, установил законы движения тел вблизи земной поверхности. Сбрасывая тела с башни, он установил, что время падения тела не зависит от его веса и определяется высотой падения. Он первым доказал, что при свободном падении тела пройденный путь пропорционален квадрату времени.

Замечательные экспериментальные исследования свободного вертикального падения тяжёлого тела были проведены Леонардо да Винчи; это были, вероятно, первые в истории механики специально организованные опытные исследования.

Период создания основ механики. Практика (главным образом торговое мореплавание и военное дело) ставит перед механикой XVI – XVII вв. ряд важнейших проблем, занимающих умы лучших ученых того времени. “… Вместе с возникновением городов, крупных построек и развитием ремесла развилась и механика. Вскоре она становится необходимой также для судоходства и военного дела” (Энгельс Ф., Диалектика природы, 1952, стр. 145).

Нужно было точно исследовать полет снарядов, прочность больших кораблей, колебания маятника, удар тела. Наконец, победа учения Коперника выдвигает проблему движения небесных тел. Гелиоцентрическое мировоззрение к началу XVI в. создало предпосылки к установлению законов движения планет немецким астрономом И. Кеплером (1571 – 1630). Он сформулировал первые два закона движения планет:

1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, за равные промежутки времени описывает равные площади.

Основоположником механики является великий итальянский ученый Г. Галилей (1564 – 1642). Он экспериментально установил количественный закон падения тел в пустоте, согласно которому расстояния, проходимые падающим телом в одинаковые промежутки времени, относятся между собой, как последовательные нечетные числа. Галилей установил законы движения тяжелых тел по наклонной плоскости, показав, что, падают ли тяжелые тела по вертикали или по наклонной плоскости, они всегда приобретают такие скорости, которые нужно сообщить им, чтобы поднять их на ту высоту, с которой они упали. Переходя к пределу, он показал, что на горизонтальной плоскости тяжелое тело будет находиться в покое или будет двигаться равномерно и прямолинейно. Тем самым он сформулировал закон инерции. Складывая горизонтальное и вертикальное движения тела (это первое в истории механики сложение конечных независимых движений), он доказал, что тело, брошенное под углом к горизонту, описывает параболу, и показал, как рассчитать длину полета и максимальную высоту траектории. При всех своих выводах он всегда подчеркивал, что речь идет о движении при отсутствии сопротивления. В диалогах о двух системах мира очень образно, в форме художественного описания, он показал, что все движения, которые могут происходить в каюте корабля, не зависят от того, находится ли корабль в покое или движется прямолинейно и равномерно. Этим он установил принцип относительности классической механики (так называемый принцип относительности Галилей – Ньютона). В частном случае силы веса Галилей тесно связывал постоянство веса с постоянством ускорения падения, но только Ньютон, введя понятие массы, дал точную формулировку связи между силой и ускорением (второй закон). Исследуя условия равновесия простых машин и плавания тел, Галилей, по существу, применяет принцип возможных перемещений (правда, в зачаточной форме). Ему же наука обязана первым исследованием прочности балок и сопротивления жидкости движущимся в ней телам.

Французский геометр и философ Р. Декарт (1596 – 1650) высказал плодотворную идею сохранения количества движения. Он применяет математику к анализу движения и, вводя в нее переменные величины, устанавливает соответствие между геометрическими образами и алгебраическими уравнениями. Но он не заметил существенного факта, что количество движения является величиной направленной, и складывал количества движения арифметически. Это привело его к ошибочным выводам и снизило значение данных им применений закона сохранения количества движения, в частности, к теории удара тел.

Последователем Галилея в области механики был голландский ученый Х. Гюйгенс (1629 – 1695). Ему принадлежит дальнейшее развитие понятий ускорения при криволинейном движении точки (центростремительное ускорение). Гюйгенс также решил ряд важнейших задач динамики – движение тела по кругу, колебания физического маятника, законы упругого удара. Он первый сформулировал понятия центростремительной и центробежной силы, момента инерции, центра колебания физического маятника. Но основная его заслуга состоит в том, что он первый применил принцип, по существу эквивалентный принципу живых сил (центр тяжести физического маятника может подняться только на высоту, равную глубине его падения). Пользуясь этим принципом, Гюйгенс решил задачу о центре колебания маятника – первую задачу динамики системы материальных точек. Исходя из идеи сохранения количества движения, он создал полную теорию удара упругих шаров.

Заслуга формулировки основных законов динамики принадлежит великому английскому ученому И. Ньютону (1643 – 1727). В своем трактате “Математические начала натуральной философии”, вышедшем первым изданием в 1687 г., Ньютон подвел итог достижениям своих предшественников и указал пути дальнейшего развития механики на столетия вперед. Завершая воззрения Галилея и Гюйгенса, Ньютон обогащает понятие силы, указывает новые типы сил (например, силы тяготения, силы сопротивления среды, силы вязкости и много других), изучает законы зависимости этих сил от положения и движения тел. Основное уравнения динамики, являющееся выражением второго закона, позволило Ньютону успешно разрешить большое число задач, относящихся, главным образом, к небесной механике. В ней его больше всего интересовали причины, заставляющие двигаться по эллиптическим орбитам. Еще в студенческие году Ньютон задумался над вопросами тяготения. В его бумагах нашли следующую запись: “Из правила Кеплера о том, что периоды планет находятся в полуторной пропорции к расстоянию от центров их орбит, я вывел, что силы, удерживающие планеты на их орбитах, должны быть в обратном отношении квадратов их расстояний от центров, вокруг коих они вращаются. Отсюда я сравнил силу, требующуюся для удержания Луны на ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли и нашел, что они почти отвечают друг другу”.

В приведенном отрывке Ньютон не сообщает доказательства, но я могу предположить, что ход его рассуждений состоял в следующем. Если приближенно считать, что планеты равномерно движется по круговым орбитам, то согласно третьему закону Кеплера, на который ссылается Ньютон, я получу

T 2 2 / T 2 1 = R 3 2 / R 3 1 , (1.1) где T j и R j – периоды обращения и радиусы орбит двух планет (j = 1, 2).

При равномерном движении планет по круговым орбитам со скоростями V j их периоды обращения определяются равенствами T j = 2 p R j / V j .

Следовательно,

T 2 / T 1 = 2 p R 2 V 1 / V 2 2 p R 1 = V 1 R 2 / V 2 R 1 .

Теперь соотношение (1.1) приводится к виду

V 2 1 / V 2 2 = R 2 / R 1 . (1.2)

К рассматриваемым годам Гюйгенс уже установил, что центробежная сила пропорциональна квадрату скорости и обратно пропорциональна радиусу окружности, т. е. F j = kV 2 j / R j , где k – коэффициент пропорциональности.

Если теперь внести в равенство (1.2) соотношение V 2 j = F j R j / k, то я получу

F 1 / F 2 = R 2 2 / R 2 1 , (1.3) что устанавливает обратную пропорциональность центробежных сил планет квадратам их расстояний до Солнца.

Ньютону принадлежат также исследования сопротивления жидкостей движущимися телам; им установлен закон сопротивления, согласно которому сопротивление жидкости движению тела в ней пропорционально квадрату скорости тела. Ньютоном открыт основной закон внутреннего трения в жидкостях и газах.

К концу XVII в. основы механики были обстоятельно разработаны. Если древние века считать предисторией механики, то XVII в. можно рассматривать как период создания ее основ.

Развитие методов механики в XVIII в.. В XVIII в. потребности производства – необходимость изучения важнейших механизмов, с одной стороны, и проблема движения Земли и Луны, выдвинутая развитием небесной механики, с другой, - привели к созданию общих приемов решения задач механики материальной точки, системы точек твердого тела, развитых в “Аналитической механике” (1788 г.) Ж. Лагранжа (1736 – 1813).

В развитии динамики посленьютоновского периода основная заслуга принадлежит петербургскому академику Л. Эйлеру (1707 – 1783). Он развил динамику материальной точки в направлении применения методов анализа бесконечно малых к решению уравнений движения точки. Трактат Эйлера “Механика, т. е. наука о движении, изложенная аналитическим методом”, вышедший в свет в Петербурге в 1736 г., содержит общие единообразные методы аналитического решения задач динамики точки.

Л. Эйлер - основоположник механики твердого тела. Ему принадлежит общепринятый метод кинематического описания движения твердого тела при помощи трех эйлеровых углов. Фундаментальную роль в дальнейшем развитии динамики и многих ее технических приложений сыграли установленные Эйлером основные дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижного центра. Эйлер установил два интеграла: интеграл момента количеств движения

A 2 w 2 x + B 2 w 2 y + C 2 w 2 z = m

и интеграл живых сил (интеграл энергии)

A w 2 x + B w 2 y + C w 2 z = h,

где m и h – произвольные постоянные, A,B и C – главные моменты инерции тела для неподвижной точки, а w x, w y, w z – проекции угловой скорости тела на главные оси инерции тела.

Эти уравнения явились аналитическим выражением открытой им теоремы моментов количества движения, которая представляет собой необходимое дополнение к закону количестве движения, сформулированному в общем виде в “Началах” Ньютона. В “Механике” Эйлера дана близкая к современной формулировка закона “живых сил” для случая прямолинейного движения и отмечено наличие таких движений материальной точки, при которых изменение живой силы при переходе точки из одного положения в другое не зависит от формы траектории. Этим было положено начало понятия потенциальной энергии. Эйлер – основоположник гидромеханики. Им были даны основные уравнения динамики идеальной жидкости; ему принадлежит заслуга создания основ теории корабля и теории устойчивости упругих стержней; Эйлер заложил основу теории расчета турбин, выведя турбинное уравнение; в прикладной механике имя Эйлера связано с вопросами кинематики фигурных колес, расчета трения между канатом и шкивом и многими другими.

Небесная механика была в значительной своей части развита французским ученым П. Лапласом (1749 – 1827), который в обширном труде “Трактат о небесной механике” объединил результаты исследования своих предшественников – от Ньютона до Лагранжа – собственными исследованиями устойчивости солнечной системы, решением задачи трех тел, движения Луны и многих других вопросов небесной механики (см. Приложение).

Одним из важнейших приложений ньютоновской теории тяготения явился вопрос о фигурах равновесия вращающихся жидких масс, частицы которых тяготеют друг к другу, в частности о фигуре Земли. Основы теории равновесия вращающихся масс были изложены Ньютоном в третьей книге “Начал”. Проблема фигур равновесия и устойчивости вращающейся жидкой массы сыграла значительную роль в развитии механики.

Великий русский ученый М. В. Ломоносов (1711 – 1765) высоко оценивал значение механики для естествознания, физики и философии. Ему принадлежит материалистическая трактовка процессов взаимодействия двух тел: “когда одно тело ускоряет движение другого и сообщает ему часть своего движения, то только так, что само теряет такую же часть движения”. Он является одним из основоположников кинетической теории теплоты и газов, автором закона сохранения энергии и движения. Приведем слова Ломоносова из письма Эйлеру (1748 г.): “Все изменения, случающиеся в природе, проходят так, что если что-либо прибавится к чему-либо, то столько же отнимется от чего-то другого. Так, сколько к какому-нибудь телу присоединится материи, столько же отнимется от другого; сколько часов я употребляю в сон, столько же отнимаю от бдения и т. д. Так как этот закон природы всеобщ, то он простирается даже и в правила движения, и тело, побуждающее своим толчком другое к движению столько же теряет своего движения, сколько сообщает другому, движимому им”. Ломоносов впервые предсказал существование абсолютного нуля температуры, высказал мысль о связи электрических и световых явлений. В результате деятельности Ломоносова и Эйлера появились первые труды русских ученых, творчески овладевших методами механики и способствовавших ее дальнейшему развитию.

История создания динамики несвободной системы связана с развитием принципа возможных перемещений, выражающим общие условия равновесия системы. Этот принцип был впервые применен голландским ученым С. Стевином (1548 – 1620) при рассмотрении равновесия блока. Галилей сформулировал принцип в виде “золотого правила” механики, согласно которому “что выигрывается в силе, то теряется в скорости”. Современная формулировка принципа была дана в конце XVIII в. на основе абстракции “идеальных связей”, отражающих представление об “идеальной” машине, лишенной внутренних потерь на вредные сопротивления в передаточном механизме. Выглядит она следующим образом: если в положении изолированного равновесия консервативной системы со стационарными связями потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Созданию принципов динамики несвободной системы способствовала задача о движении несвободной материальной точки. Материальная точка называется несвободной, если она не может занимать произвольного положения в пространстве. В этом случае принцип Д’Аламбера звучит следующим образом: действующие на движущуюся материальную точку активные силы и реакции связей можно в любой момент времени уравновесить добавлением к ним силы инерции.

Выдающийся вклад в развитие аналитической динамики несвободной системы внес Лагранж, который в фундаментальном двухтомном сочинении “Аналитическая механика” указал аналитическое выражение принципа Д’Аламбера – “общую формулу динамики”. Как же Лагранж получил ее?

После того, как Лагранж изложил различные принципы статики, он переходит к установлению “общей формулы статики для равновесия любой системы сил”. Начиная

с двух сил, Лагранж устанавливает методом индукции следующую общую формулу для

равновесия любой системы сил:

P dp + Q dq + R dr + … = 0. (2.1)

Это уравнение представляет математическую запись принципа возможных перемещений. В современных обозначениях этот принцип имеет вид

å n j=1 F j d r j = 0 (2.2)

Уравнения (2.1) и (2.2) практически одинаковы. Основное отличие состоит, конечно, не в форме записи, а в определении вариации: в наши дни – это произвольно мыслимое перемещение точки приложения силы, совместимое со связями, а у Лагранжа – это малое перемещение вдоль линии действия силы и в сторону ее действия.

Лагранж вводит в рассмотрение функцию П (теперь она называется потенциальной энергией), определив ее равенством

d П = P dp + Q dq + R dr + … , (2.3) в декартовых координатах функция П (после интегрирования) имеет вид

П = А + Вx + Сy + Dz + … + Fx 2 + Gxy + Hy 2 + Kxz + Lyz + Mz 2 + … (2.4)

Для дальнейшего доказательства Лагранж изобретает знаменитый метод неопределенных множителей. Сущность его состоит в следующем. Рассмотрим равновесие n материальных точек, на каждую из которых действует сила F j . Между координатами точек имеется m связей j r = 0, зависящих только от их координат. Учитывая, что d j r = 0, уравнение (2.2) сразу можно привести к следующей современной форме:

å n j=1 F j d r j + å m r=1 l r d j r = 0, (2.5) где l r – неопределенные множители. Отсюда получаются следующие уравнения равновесия, называемые уравнениями Лагранжа I рода:

X j + å m r=1 l r ¶ j r / ¶ x j = 0, Y j + å m r=1 l r ¶ j r / ¶ y j = 0,

Z j + å m r=1 l r ¶ j r / ¶ z j = 0 (2.6) К этим уравнениям нужно присоединить m уравнений связей j r = 0 (X j , Y j , Z j – проекции силы F j ).

Покажем, как Лагранж использует этот метод для вывода уравнений равновесия абсолютно гибкой и нерастяжимой нити. Прежде всего, отнесенную к единице длины нити (ее размерность равна F / L ). Уравнение связи для нерастяжимой нити имеет вид ds = const, и, следовательно, d ds = 0. В уравнении (2.5) суммы переходят в интегралы по длине нити l

ò l 0 F d rds + ò l 0 l d ds = 0. (2.7) Учитывая равенство

(ds) 2 = (dx) 2 + (dy) 2 + (dz) 2 ,

d ds = dx / ds d dx + dy / ds d dy + dz / ds d dz.

ò l 0 l d ds = ò l 0 (l dx / ds d dx + l dy / ds d dy + l dz / ds d dz)

или, переставляя операции d и d и интегрируя по частям,

ò l 0 l d ds = (l dx / ds d x + l dy / ds d y + l dz / ds d z) –

- ò l 0 d (l dx / ds) d x + d (l dy / ds) d y + d (l dz / ds) d z.

Считая, что нить на концах закреплена, получим d x = d y = d z = 0 при s = 0 и s = l , и, следовательно, первое слагаемое обращается в нуль. Оставшуюся часть внесем в уравнение (2.7), раскроем скалярное произведение F * dr и сгруппируем члены:

ò l 0 [ Xds – d (l dx / ds) ] d x + [ Yds – d (l dy / ds) ] d y + [ Zds – d (d dz / ds) ] d z = 0.

Так как вариации d x, d y и d z произвольны и независимы, то все квадратные скобки должны равняться нулю, что дает три уравнения равновесия абсолютно гибкой нерастяжимой нити:

d / ds (l dx / ds) – X = 0, d / ds (l dy / ds) – Y = 0,

d/ ds (l dz / ds) – Z = 0. (2.8)

Лагранж так объясняет физический смысл множителя l: “Так как величина l d ds может представлять собой момент некоторой силы l (в современной терминологии –“виртуальная (возможная) работа”) стремящейся уменьшить длину элемента ds , то член ò l d ds общего уравнения равновесия нити выразит сумму моментов всех сил l , которые мы можем себе представить действующими на все элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастяжимости каждый элемент противостоит действию внешних сил, и это сопротивление обычно рассматривают как активную сила, которую называют натяжением . Таким образом, l представляет собою натяжение нити ”.

Переходя к динамике, Лагранж, принимая тела за точки массой m, пишет, что “величины

m d 2 x / dt 2 , m d 2 y / dt 2 , m d 2 z / dt 2 (2.9) выражают силы, примененные непосредственно для того, чтобы двигать тело m параллельно осям x, y, z ”. Заданные ускоряющие силы P, Q, R , …, по Лагранжу, действуют вдоль линий p, q, r, …, пропорциональны массам, направлены к соответствующим центрам и стремятся уменьшить расстояния до этих центров. Поэтому вариации линий действия будут - d p, - d q, - d r , …, а виртуальная работа приложенных сил и сил (2.9) будут соответственно равны

å m (d 2 x / dt 2 d x + d 2 y / dt 2 d y + d 2 z / dt 2 d z) , - å (P d p + Q d q + R d r + …) . (2.10)

Приравнивая эти выражения и перенося все члены в одну сторону, Лагранж получает уравнение

å m (d 2 x /dt 2 d x + d 2 y / dt 2 d y + d 2 z / dt 2 d z) + å (P d p + Q d q + R d r + …) = 0, (2.11) которое он назвал “общей формулой динамики для движения любой системы тел”. Именно эту формулу Лагранж положил в основу всех дальнейших выводов – как общих теорем динамики, так и теорем небесной механики и динамики жидкостей и газов.

После вывода уравнения (2.11) Лагранж разлагает силы P, Q, R, … по осям прямоугольных координат и приводит это уравнение к следующему виду:

å (m d 2 x / dt 2 +X) d x + (m d 2 y / dt 2 + Y) d y + (m d 2 z / dt 2 + Z) d z = 0. (2.12)

С точностью до знаков уравнение (2.12) полностью совпадает с современной формой общего уравнения динамики:

å j (F j – m j d 2 r j / dt 2) d r j = 0; (2.13) если раскрыть скалярное произведение, то получим уравнение (2.12) (за исключением знаков в скобках).

Таким образом, продолжая труды Эйлера, Лагранж завершил аналитическое оформление динамики свободной и несвободной системы точек и дал многочисленные примеры, иллюстрирующие практическую мощь этих методов. Исходя из “общей формулы динамики”, Лагранж указал две основные формы дифференциальных уравнений движения несвободной системы, носящие ныне его имя: “уравнения Лагранжа первого рода” и уравнения в обобщенных координатах, или “уравнение Лагранжа второго рода”. Что навело Лагранжа на уравнения в обобщенных координатах? Лагранж в своих работах по механике, в том числе и по небесной механике, определял положение системы, в частности, твердого тела различными параметрами (линейными, угловыми или их комбинацией). Для такого гениального математика, каким был Лагранж, естественно встала проблема обобщения – перейти к произвольным, не конкретизированным параметрам. Это и привело его к дифференциальным уравнениям в обобщенных координатах. Лагранж назвал их “дифференциальные уравнения для решения всех проблем механики”, теперь мы называем их уравнениями Лагранжа II рода:

d / dt ¶ L / ¶ q j - ¶ L / ¶ q j = 0 ( L = T – П ).

Подавляющее большинство решенных в “Аналитической механике” задач отражает технические проблемы того времени. С этой точки зрения необходимо особо выделить группу важнейших задач динамики, объединенные Лагранжем под общим наименованием “О малых колебаниях любой системы тел”. Этот раздел представляет собой основу современной теории колебаний. Рассматривая малые движения, Лагранж показал, что любое такое движение можно представить как результат наложения друг на друга простых гармонических колебаний.

Механика XIX и начала XX вв. “Аналитическая механика” Лагранжа подвела итог достижениям теоретической механики XVIII в. и определила следующие главные направления ее развития:

1) расширение понятия связей и обобщение основных уравнений динамики несвободной системы для новых видов связей;

2) формулировка вариационных принципов динамики и принципа сохранения механической энергии;

3) разработка методов интегрирования уравнений динамики.

Параллельно с этим выдвигались и были разрешены новые фундаментальные задачи механики. Для дальнейшего развития принципов механики основополагающими были работы выдающегося русского ученого М. В. Остроградского (1801 – 1861). Он первый рассмотрел связи, зависящие от времени, ввел новое понятие о неудерживающих связях, т. е. связях, выражающихся аналитически при помощи неравенств, и обобщил на случай такого рода связей принцип возможных перемещений и общее уравнение динамики. Остроградскому принадлежит также приоритет в рассмотрении дифференциальных связей, накладывающих ограничения на скорости точек системы; аналитически такие связи выражаются при помощи неинтегрируемых дифференциальных равенств или неравенств.

Естественным дополнением, расширяющим область применения принципа Д’Аламбера, явилось предложенное Остроградским приложение принципа к системам, подверженным действию мгновенных и импульсных сил, возникающих при действии на систему ударов. Такого рода ударные явления Остроградский рассматривал, как результат мгновенного уничтожения связей или мгновенного введения в систему новых связей.

В середине XIX в. был сформулирован принцип сохранения энергии: для любой физической системы можно определить величину, называемую энергией и равную сумме кинетической, потенциальной, электрической и других энергий и теплоты, значение которой остается постоянным независимо от того, какие изменения происходят в системе. Значительно ускорившийся к началу XIX в. процесс создания новых машин и стремление к дальнейшему их усовершенствованию вызвали в первой четверти века появление прикладной, или технической, механики. В первых трактатах по прикладной механике окончательно оформились понятия работы сил.

Принцип Д’Аламбера, содержащий наиболее общую формулировку законов движения несвободной системы, не исчерпывает всех возможностей постановки проблем динамики. В середине XVIII в. возникли, и в XIX в. получили развитие новые общие принципы динамики – вариационные принципы. Первым вариационным принципом явился принцип наименьшего действия, выдвинутый в 1744 г. без какого бы то ни было доказательства, как некоторый общий закон природы, французским ученым П. Мопертюи (1698 – 1756). Принцип наименьшего действия гласит, “что путь, которого он (свет) придерживается, является путем, для которого количество действий будет наименьшим”.

Развитие общих методов интегрирования дифференциальных уравнений динамики относится, главным образом, к середине XIX в. Первый шаг в деле приведения дифференциальных уравнений динамики к системе уравнений первого порядка был сделан в 1809 г. французским математиком С. Пуассоном (1781 – 1840). Задача о приведении уравнений механики к “канонической” системе уравнений первого порядка для случая связей, не зависящих от времени, была решена в 1834 г. английским математиком и физиком У. Гамильтоном (1805 – 1865). Окончательное завершение ее принадлежит Остроградскому, который распространил эти уравнения на случаи нестационарных связей.

Крупнейшими проблемами динамики, постановка и решение которых относятся, главным образом, к XIX в., являются: движение тяжелого твердого тела, теория упругости (см. Приложение) равновесия и движения, а также тесно связанная с этой теорией задача о колебаниях материальной системы. Первое решение задачи о вращении тяжелого твердого тела произвольной формы вокруг неподвижного центра в частном случае, когда неподвижный центр совпадает с центром тяжести, принадлежит Эйлеру. Кинематические представления этого движения были даны в 1834 г. Л. Пуансо. Случай вращения, когда неподвижный центр, не совпадающий с центром тяжести тела, помещен на оси симметрии, был рассмотрен Лагранжем. Решение этих двух классических задач легло в основу создания строгой теории гироскопических явлений (гироскоп – прибор для наблюдения вращения). Выдающиеся исследования в этой области принадлежат французскому физику Л. Фуко (1819 – 1968), создавшему ряд гироскопических приборов. Примерами таких приборов могут служить гироскопический компас, искусственный горизонт, гироскоп и другие. Эти исследования указали на принципиальную возможность, не прибегая к астрономическим наблюдениям, установить суточное вращение Земли и определить широту и долготу места наблюдения. После работ Эйлера и Лагранжа, несмотря на усилия ряда выдающихся математиков, проблема вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки долго не получала дальнейшего развития.